Математика/ Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Карнишин С.Г., Карнишиа В.И.

Пермский военный институт внутренних войск МВД России

(ПВИ ВВ МВД России), МБОУ «СОШ № 47», г.Пермь, Россия

Задача о допустимости пар пространств с векторным весом

Рассмотрим линейное функционально-дифференциальное уравнение

(1)

Предполагаются выполненными следующие условия: элементы - матрицы определены в области ; функции при каждом фиксированном суммируемы на каждом конечном отрезке из , полные вариации и компоненты вектор-функции суммируемы на каждом конечном отрезке из

Всюду в дальнейшем через будем обозначать -мерное векторное пространство, через - норму .

Введём следующие специальные пространства функций со значениями в . Пусть , - скалярные непрерывные положительные на функции.

1. Пространство определим как пространство непрерывных вектор-функций для которых произведения , ограничены на . Норму в определим равенством

2. Обозначим через пространство вектор-функций для которых произведения , ограничены в существенном на . Норму в пространстве определим равенством

3. Пусть , . Через обозначим пространство вектор-функций для которых произведения суммируемы на в степени , . Норму в пространстве определим равенством

4. Через обозначим пространство вектор-функций для которых интегралы существуют и равномерно ограничены по на . Норму в пространстве зададим равенством

Рассмотрим для уравнения (1) задачу Коши

; . (2)

Хорошо известно, что любое решение уравнения (1) имеет представление

,

где - матрица Коши уравнения (1). Из этого представления видно, что свойства устойчивости по части переменных полностью определяются свойствами фундаментальной матрицы . А именно решение задачи (2) устойчиво по первым переменным тогда и только тогда, когда

Обозначим через столбцы фундаментальной матрицы. Из сказанного выше очевидно следует, что если , где , то решение задачи (2) устойчиво по первым компонентам.

Пусть - банаховы пространства измеримых вектор-функций, определённых на .

Определение 1. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима пара , если каждому соответствует решение задачи (2) при , принадлежащее .

Для фундаментальной матрицы уравнение (1) известно следующее представление:

где - - матрица с абсолютно непрерывными на компонентами, удовлетворяющая условию , - единичная матрица.

Лемма 1. Пусть выполнены условия:

1) для уравнения (1) допустима пара ;

2) столбцы матрицы принадлежат пространству ;

3) столбцы матрицы принадлежат пространству ;

Тогда .

Из этой леммы видна связь между задачей о допустимости пары и устойчивости по части переменных решений уравнения (1).

Сформулируем критерии разрешимости задачи о допустимости пар пространств для уравнения (1) в случае пространств с векторным весом. Предварительно введем следующие понятия.

Определение 2. Будем говорить, что для матрицы выполнено -условие, если существует такая постоянная , что при .

Обозначим

где верхняя грань берётся по всевозможным разбиениям отрезка .

Теорема 1. Пусть матрица удовлетворяет -условию и , . Пусть далее функции и , удовлетворяют условию: существует положительная постоянная , такая, что при любых выполняется неравенство , . Следующие утверждения эквивалентны:

а) для решения (1) допустима пара;

б) существует такое , что при и для уравнения (1) допустима пара ;

в) существует положительная переменная , такая, что элементы матрицы Коши уравнения (1) удовлетворяют оценке

(3)

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функции , , удовлетворяет условию: существует положительная постоянная , такая, что , . Следующие утверждения эквивалентны:

а) для уравнения (1) допустима пара ;

б) для уравнения (1) допустима пара ; ;

в) для уравнения (1) допустима пара ; ;

г) существуют положительные и , такие, что элементы матрицы Коши уравнения (1) удовлетворяют оценке (3).

Литература

1. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последствием. 1. Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. № 5. С.745-754.

2. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80с.