Математика/ Дифференциальные и интегральные уравнения

 

К.ф.-м.н. Карнишин С.Г., Карнишиа В.И.

Пермский военный институт внутренних войск МВД России

(ПВИ ВВ МВД России), МБОУ «СОШ № 47», г.Пермь, Россия

 

Задача о допустимости пар пространств с векторным весом

 

Рассмотрим линейное функционально-дифференциальное уравнение

                        (1)

Предполагаются выполненными следующие условия: элементы   - матрицы  определены в области ; функции  при каждом фиксированном  суммируемы на каждом конечном отрезке из , полные вариации  и компоненты вектор-функции  суммируемы на каждом конечном отрезке из

Всюду в дальнейшем через  будем обозначать -мерное векторное пространство, через  - норму .

Введём следующие специальные пространства функций со значениями в . Пусть , - скалярные непрерывные положительные на  функции.

1.                Пространство определим как пространство непрерывных вектор-функций  для которых произведения ,  ограничены на . Норму в  определим равенством

2.                Обозначим через  пространство вектор-функций  для которых произведения ,  ограничены в существенном на . Норму в пространстве  определим равенством

3.                Пусть ,  . Через  обозначим пространство вектор-функций  для которых произведения  суммируемы на  в степени , . Норму в пространстве  определим равенством

4.                Через  обозначим пространство вектор-функций  для которых интегралы  существуют и равномерно ограничены по  на . Норму в пространстве  зададим равенством

Рассмотрим для уравнения (1) задачу Коши

; .                                     (2)                                                                                      

Хорошо известно, что любое решение уравнения (1) имеет представление

,

где  - матрица Коши уравнения (1). Из этого представления видно, что свойства устойчивости по части переменных полностью определяются свойствами фундаментальной матрицы . А именно решение задачи (2) устойчиво по первым переменным тогда и только тогда, когда

Обозначим через  столбцы фундаментальной матрицы. Из сказанного выше очевидно следует, что если , где , то решение задачи (2) устойчиво по первым  компонентам.

Пусть  - банаховы пространства измеримых вектор-функций, определённых на .

Определение 1. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима пара , если каждому  соответствует решение  задачи (2) при , принадлежащее .

Для фундаментальной матрицы  уравнение (1) известно следующее представление:

где  -  - матрица с абсолютно непрерывными на  компонентами, удовлетворяющая условию ,  - единичная матрица.

Лемма 1. Пусть выполнены условия:

1)                для уравнения (1) допустима пара ;

2)                столбцы матрицы  принадлежат пространству ;

3)                столбцы матрицы  принадлежат пространству ;

Тогда .

Из этой леммы видна связь между задачей о допустимости пары  и устойчивости по части переменных решений уравнения (1).

Сформулируем критерии разрешимости задачи о допустимости пар пространств для уравнения (1) в случае пространств с векторным весом. Предварительно введем следующие понятия.

Определение 2. Будем говорить, что для матрицы выполнено -условие, если существует такая постоянная , что  при .

Обозначим

где верхняя грань берётся по всевозможным разбиениям  отрезка .

Теорема 1. Пусть матрица  удовлетворяет -условию и , . Пусть далее функции  и ,  удовлетворяют условию: существует положительная постоянная , такая, что при любых  выполняется неравенство , . Следующие утверждения эквивалентны:

а) для решения (1) допустима пара;

б) существует такое , что при  и  для уравнения (1) допустима пара ;

в) существует положительная переменная , такая, что элементы матрицы Коши уравнения (1) удовлетворяют оценке

                                (3)                                 

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функции , , удовлетворяет условию: существует положительная постоянная , такая, что , . Следующие утверждения эквивалентны:

а) для уравнения (1)  допустима пара ;

б) для уравнения (1)  допустима пара ; ;

в) для уравнения (1)  допустима пара ; ;

г) существуют положительные  и , такие, что элементы матрицы Коши уравнения (1) удовлетворяют оценке (3).

 

Литература

1. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последствием. 1. Дифференц. уравнения. 1987.  Т.23. № 5. С.745-754.

2. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80с.