Математика/5. Математическое моделирование

 

К.т.н. Исмаилов А.О., Жуаспаев Т.А.

Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова, Казахстан

 

ОБРАТНАЯ (ИНВЕРСНАЯ) СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

 

1 Физическая модель устройства для реализации стационарного метода плоского слоя

Положим, имеем однородную плоскую неограниченную пластину (стенку) толщиной  из материала, теплопроводность  которого надо измерить (рисунок 1).

Если в эксперименте создать условия, когда через эту пластину будет проходить неизменный во времени и равномерно распределенный тепловой поток , то после достижения стационарного режима в этой пластине установится линейное распределение температуры, а на поверхностях пластины можно измерить два значения температур  и .

 

Рисунок 1 – Схематическое представление физической модели

измерительного устройства

2 Математическая модель метода и устройства

Принимая во внимание, что на двух поверхностях пластины нам известны два измеренных значения температур:

при   ,

при  ,

а, кроме того, при  измерен тепловой поток , математическая модель температурного поля образца для рассматриваемого метода и устройства может быть записана в виде:

 

                                   (1)

 

                                                                             (2)

 

                                                                      (3)

 

                                                                 (4)

 

с дополнительным условием

 

.                                                                (5)

 

Задача (1)–(5) представляет собой пример нестационарной обратной (инверсной) краевой задачи теплопроводности относительно неизвестного коэффициента теплопроводности . По истечении большого промежутка времени в исследуемой пластине устанавливается стационарный режим переноса теплоты, когда распределение температуры  в стационарном режиме может быть получено из решения краевой задачи теплопроводности (1) – (5) при . Причем при

,                                                                       (6)

температура  перестает зависеть от времени, а начальное условие (2) совершенно не сказывается на стационарном распределении температуры в используемой пластине.

С учетом сказанного выше, краевая задача (1) – (5) для стационарного процесса переноса тепла примет вид:

                                                                    (7)

.                                                       (8)

с дополнительным условием

.                                                                   (9)

Задача (7)–(9), представляет собой пример обратной (инверсной) стационарной задачи теплопроводности относительно неизвестного пока параметра – искомой теплопроводности .

Проинтегрируя уравнение (7), и учитывая граничные условия (8) и  (9) выводим формулу для определения коэффициента теплопроводности:

.                                                                             (10)

 

Литература:

1 Франчук А.У. Теплопровдность строительных материалов в зависимости от влажности. – Стройиздат, 1941

2 Чудновский А.Ф. Теплообмен в дисперсных средах. – М.: Гостехиздат, 1954, 444 с.