Балашникова Анжелика Вениаминовна, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева,

аспирант кафедры математического анализа

Сжатие жесткими шероховатыми плитами изделия конечного размера из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии

Аннотация. В работе рассматривается сжатие идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами при трансляционной анизотропии, в случае плоской деформации. Рассматривается характер изменения касательного напряжения по толщине слоя.

Ключевые слова: напряжение, деформация, сжатие, слой, трансляционная анизотропия, идеальная пластичность.

Актуальность исследуемой проблемы. Учет свойств анизотропных материалов, используемых в современном машиностроении, является необходимым в связи с требованиями наиболее полного использования прочностных свойств изделий.

Новые результаты, учитывающие влияние идеальнопластической трансляционной анизотропии на напряженно-деформированное состояние тел, являются важными и актуальными. Они позволяют учитывать влияние трансляционной идеальнопластической анизотропии на прессовку пространственной анизотропной металлической заготовки шероховатыми плитами.

Результаты данной работы могут применяться при изучении свойств анизотропии, влияние различных значений предельного сопротивления при изготовлении изделий позволят снизить энергетические запасы.

Материал и методика исследований. В работе используются апробированные модели механического поведения тел и математические методы исследования, результаты не противоречат исследованиям других авторов.

Результаты исследований и их обсуждение. Рассматривается процесс сжатия жесткими шероховатыми плитами изделия конечного размера из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии.

Запишем условие пластичности

(1)

где , , – компоненты напряжения, , , , – const, определяющие предел текучести и параметры анизотропии.

Уравнения равновесия примут вид:

(2)

Предположим, что толщина пластического слоя равна .

Переведем используемые в исследовании все размерные величины в безразмерные и отнесем их к .

При условии пластичности (1) рассмотрим предположения о характере изменения касательного напряжения по толщине слоя:

(3)

Подставим (3) в условие пластичности (1). Будем иметь

(4)

Повторяем подстановку (3), но в соотношение (2), результатом которого являются выражения для компонентов напряжения , :

(5)

Тогда из (4) с учетом структуры соотношений (5) следует

(6)

Постоянная определяется из условия отсутствия суммарных усилий вдоль оси при по свободному краю полосы:

(7)

Для этого подставляем (6) в (7) и, выполнив соответствующие операции, будем иметь:

(8)

Таким образом, компоненты напряжений , примут вид:

(9)

где

Согласно ассоциированному закону течения соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций имеют вид:

(10)

где , , , , , – компоненты скорости деформации. Из формулы Коши компоненты скорости перемещения выражаются следующим образом:

(11)

Предполагая структуру перемещения из (11) получаем ее аналитическое выражение:

(12)

Для определения используем первые два соотношения (10) с учетом первых двух соотношений из (11):

(13)

Принимая во внимание выражения для (8) и (9), в (13), выполнив преобразования, находим :

(14)

Подставляя компоненту скорости перемещения u, соотношение (12) в третье соотношение системы (11), будем иметь

. (15)

Чтобы проинтегрировать уравнение (15) для нахождения , необходимо подставить последовательно выражение для из (8) в (14) и полученное выражение для в (15). Интегрируя после этого уравнение (15), для будем иметь

(16)

Резюме. Решена задача о сжатии идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами при трансляционной анизотропии, в случае плоской деформации.

Полученные результаты позволяют выявить влияние свойств идеальнопластической трансляционной анизотропии на упругопластическое поведение тел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Максимова, Л. А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами / Л. А. Максимова // ПММ. – 2000. – Т. 64. – Вып. 6. – С. 1099–1104.