ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В ЭКОНОМИКЕ

Дли М.И., Пучков А. Ю., Павлов Д. А (Dli M.I., Puchkov A.Y, Pavlov D. A.)

филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске

Предложен метод решения обратных на основе применения нечеткого фильтра Калмана учитывающего специфику объектов экономики, такую как невозможность построить физическую модель процесса или явления. В основе алгоритма лежит применение методов нечеткой логики для задания элементов уравнений фильтра.

Ключевые слова: интеллектуальные алгоритмы, обратные задачи, интегральное уравнение Фредгольма, нечеткая логика, фильтр Калмана.

Интеллектуальные методы находят свое применение в тех областях, где нет возможности получить решение другими способами, опирающимися на аналитические выкладки и численные расчеты. Среди наиболее востребованных в настоящее время интеллектуальных методов стоит упомянуть искусственные нейронные сети, нечеткую логику, эволюционные методы, мультиагентные системы. Каждый из них имеет те или иные достоинства и недостатки по сравнению друг с другом, поэтому широко применяются комбинированные (гибридные) алгоритмы решения прикладных задач. В этих алгоритмах используются сильные стороны различных подходов, что позволяет сделать такие алгоритмы весьма мощными и эффективными.

В представляемой работе предлагается один из возможных алгоритмов решения задач диагностики, базирующийся на применении интеллектуальных методов. Задачи диагностики состояния объектов возникают в целом ряде прикладных направлений науки и техники: в рентгеновской компьютерной томографии, магнитно-резонансной томографии, реконструкции искаженных изображений (иконки), спектроскопии, геологоразведке. Одним из таких направлений можно считать разработку информационных систем диагностики состояний экономических систем, позволяющих по результатам анализа показателей функционирования системы сделать суждение о причинах, вызвавших такое состояние. Востребованность таких систем объясняется повышенным интересом бизнеса к инструментам, позволяющим проводить анализ и прогноз рыночной конъюктуры, обеспечивая, тем самым, устойчивый рост прибыли, как главной цели своего существования. В этой связи разработка новых алгоритмов, методов обработки данных, совершенствование и модификация имеющихся подходов с учетом изменившихся требований и возможностей вычислительной техники становятся перспективным направлением разработок и усилий специалистов в области IT, так как позволяют задействовать значительные материальные ресурсы заинтересованных бизнес-структур.

С точки зрения математики проблема диагностики может быть отнесена к классу некорректно поставленных задач, а именно – к подклассу обратных задач [1]. Процесс решения обратных задач опирается на данные о выходном процессе, которые обычно являются результатом измерений. Наличие шума измерений приводит к дополнительному снижению точности решения, поэтому целесообразно применение такого алгоритмического средства, как фильтрация, способствующего уменьшению этого влияния.

Одна из возможных структур решения обратных задач с применением фильтра предложена в [2]. В этой структуре сделана попытка компенсировать одну из возможных некорректностей обратных задач, которая проявляется в том, что малые изменения исходных данных приводят к произвольно большим изменениям решений. Для снижения влияния этого фактора там использована искусственная нейронная сеть, на вход которой подаются данные, подвергнутые процедуре фильтрации. В качестве алгоритма фильтрации использован фильтр Калмана. Собственно, процедуру решения реализует искусственная нейронная сеть, а фильтр является обеспечивающей подсистемой, улучшающей точность решения.

Рассмотрим другую структуру алгоритма решения обратной задачи, также использующую фильтрацию, но уже без применения нейронной сети. Такая структура решения позволяет использовать наибольшее количество априорной информациисреди устойчивых (регулярных) методов: в методе Калмана - ковариации ошибок и математического ожидания правой части и решения, а в методе Винера - спектральные плотности мощности шумов правой части и решения [3]. Данные методы относятся к методам статистической регуляризации. Процедура регуляризации, в общем случае, позволяет перейти от постановки задачи, приводящей к неустойчивому решению, к постановке, дающей устойчивый результат.

Объекты экономики не функционируют сами по себе, они встроены в контур управления, где роль регулятора выполняет административная надстройка, а исполнительный механизм представляет собой рабочих и служащих, реализующих бизнес-процесс. В этой связи можно рассматривать задачу управления в постановке и терминах, аналогичной применяемой для технических объектов. Проявляющаяся в процессе изложения материала специфика экономического приложения методов будет оговариваться отдельно.

Обозначим входной сигнал (управляющее воздействие) V(t), а выходной (реакция системы) x(t). Если переменная t представляет собой время, то это динамическая система и в общем случае может быть описана нелинейным интегральным уравнением Вольтерры-Урысона II рода. Если t не является временем (а, например, представляет собой расстояние, размер капитальных вложений и так далее), то система не является динамической и в зависимости от специфики решаемой задачи может быть описана интегральными уравнениями Фредгольма I или II рода:

где h(t,s) - весовая или аппаратная функция, s - переменная интегрирования, [a, b] - область изменения s, [c, d] - область изменения t.

В обратной постановке получаем задачу восстановления сигнала V(s) по измеренному выходному сигналу x(s). Для применения алгоритма фильтрации проведем некоторые преобразования, характерные для метода квадратур, используемого при решении уравнений Фредгольма [3]. Разобьем отрезок [a,b] через шаг Δs, а отрезок [c,d] через шаг Δt, получим число узлов n=(b-a)/Δs и m=(d-c)/Δt. Рассматривая уравнение Фредгольма I рода, такое разбиение позволяет заменить интеграл конечной суммой, расписывая его, например, по формуле трапеций:

,

где p_j=0.5 Δs, если j=1или j=n, иначе p_j=Δs, s_j=a+(j-1)Δs.

Проводя дискретизацию по t: t_j=c+(i-1)Δt, можно получить дискретный аналог интеграла Фредгольма I рода:

, (1)

гдеA_i,j = p_jh(t_i, s_j)– элемент матрицы А размером mxn, V_j=V(s_j), x_i= x(t_I).

Систему m линейных алгебраических уравнений (1) можно решить относительно n неизвестных V_j, которые будут представлять собой решение интегрального уравнения Фредгольма I рода в дискретном виде. Если n=m, то матрица A квадратная и ее можно решать методом Крамера или гауссовскими методами, если n<m,то используется метод наименьших квадратур Гаусса (получаем псевдорешение), если n>m, применяется метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза (получаем нормальное решение).

Дискретный аналог интеграла в приведенном виде (1) позволяет перейти к постановке решения обратной задачи, характерной для фильтра Калмана [3]. Для этого в (1) добавим шум измерения:

, (2)

где N_i– дискреты m–мерного шума измерений.

В калмановской фильтрации делаются следующие предположения:

1) Математическое ожидание случайного вектора N равно нулю: где запись означает математическое ожидание ожидание по ансамблю реализаций.

2) Задана симметричная положительно определенная m n - матрица ковариации ошибок правой части: . Каждый диагональный элемент матрицы R есть квадрат среднеквадратической погрешности измерения , т.е. = , а внедиагональный элемент , , определяет корреляцию погрешностей и .

3) Задан n-вектор – математическое ожидание (начальное приближение, априорная оценка, прогноз) вектора V.

4) Задана симметричная положительно определенная n п-матрица - априорная ковариация ошибок решения: .

Далее искомое решение V находится из условия минимума квадратичной формы:

(3)

Из условия (3) получается решение (апостериорная оценка V, свертка замера с прогнозом):

, (4)

причем апостериорная n n -матрица ковариаций ошибок решения равна

. (5)

Следовательно, если помимо N и А известны дополнительно R, и М, то уточненное решение уравнения (3) согласно метода фильтрации Калмана выразится формулой (4), а уточненная матрица ковариаций ошибок решения - формулой (5). Когда имеется лишь одна реализация вектора x, требование об априорном знании и М, содержащееся в методе Калмана, трудно выполнимо. Поэтому фильтр Калмана обычно применяется в том случае, когда в функции времени поступают новые реализации х, а и М итеративно уточняются

Одной их отличительных черт объектов экономики является невозможность применения к ним физических законов и, соответственно, получения аналитических зависимостей, точно описывающих происходящие в них процессы. Объясняется это тем обстоятельством, на функционирование организации помимо законов экономики влияет еще множество факторов: социальных, политических, случайных, вызванных природными явлениями и катаклизмами. В этих условиях на помощь приходят интеллектуальные методы, позволяющие найти решение в обозначенных выше условиях. В рассматриваемом подходе к решению обратных задач предлагается формировать значения матрицы А из (1) используя продукционные правила системы нечеткого вывода [4].

Нахождение A_i,j выполняется на основании процедуры нечеткого вывода, с использованием базы знаний сформированной экспертами соответствующей предметной области. База знаний заполняется набором правил вида: П_i: ЕСЛИ g₁ ЕСТЬ «G_j» И g₂ ЕСТЬ «G_j+1» …И g_k ЕСТЬ «G_j+u», ТО A_i,j ЕСТЬ «D_i», где g – некоторый параметр, учитываемый экспертами при формировании матрицы А, G_i – лингвистическая переменная «величина g», содержащая термы «малое значение», «среднее значение» и так далее,

k – количество учитываемых параметров g, D_i – лингвистическая переменная «значение d», определяющая значение элемента A_i,j,содержащая термы, «малое значение», «среднее значение» и так далее.

Представленные выкладки демонстрируют, что калмановский алгоритм может быть приспособлен для решения обратных задач, исходная постановка которых базируется на интегральных уравнениях Фредгольма. В отличии от структуры, приведенной в [2] здесь отсутствует искусственная нейронная сеть, так как процедуру решения выполняет сам фильтр.

Безусловно, процедура формирования базы правил экспертами вносит определенный субъективизм в процесс решения. Однако его влияние можно значительно снизить различными способами, начиная от усреднения оценок экспертов и заканчивая применением методов статистической обработки информации, поступающей из различных источников об экономическом объекте. Применение последнего инструмента позволяет вообще избежать привлечения экспертов за счет использования ANFIS-систем. ANFIS является аббревиатурой AdaptiveNeuro-FuzzyInferenceSystem – (адаптивная нейро-нечеткая система). ANFIS-редактор, реализованный в MatLAB, позволяет автоматически синтезировать из экспериментальных данных нейро-нечеткие сети. Нейро-нечеткую сеть можно рассматривать как одну из разновидностей систем нечеткого логического вывода типа Сугэно [4]. При этом функции принадлежности синтезированных систем настроены (обучены) так, чтобы минимизировать отклонения между результатами нечеткого моделирования и экспериментальными данными [5].

Рассмотренный интеллектуальный алгоритм решения обратных задач путем сведения их к решению задачи нечеткой фильтрации может найти применение в алгоритмическом обеспечении систем поддержки принятия решений в различных отраслях экономики.

Литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.

2. Абраменкова И. В., Пучков А.Ю., Павлов Д. А. Нейро-нечеткий метод снижения чувствительности решения обратных задач к вариациям данных // Программные продукты и системы. 2011 №4 (96)С. 72 – 75.

3. Сизиков В.С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. – СПб.: «СпецЛит», 1999.

5. Усков А.А. Системы с нечеткими моделями объектов управления: Монография. – Смоленск: Смоленский филиал АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации", 2013. – 153 с.

6. Бояринов Ю.Г., Борисов В.В., Мищенко В.И., Дли М.И.
Метод построения нечеткой полумарковской модели функционирования сложной системы. Программные продукты и системы. 2010. № 3. С. 26.