Математика/5. Математическое моделирование

Кузенков А.А.

Днепропетровский национальный университет им. О.Гончара, Украина

Математическое моделирование многоуровневых межличностных отношений

В наше время математика является фундаментом моделирования и имитации различных динамических процессов происходящих в человеческом обществе. Широкий спектр классов дифференциальных, интегральных, конечно-разносных, регрессионных и ряда других математических моделей позволяет имитировать любые динамические и статические аспекты эволюционных процессов происходящих в человеческом обществе.

Несмотря на большое количество “межсистемных” моделей, внутрисистемное взаимодействие изучено не столь широко, а лишь на примерах, возникающих при решении конкретных задач. Следует отметить, что даже линейным моделям взаимодействия однородных систем, характерны хаос [1], сингулярность и другие комплексные особенности динамики.

В работах [2, 3], проведены исследования динамики однородных рас. Определены факторы, влияющие как на внутрирасовую, так и на межрасовую динамику. В общем виде определены условия возникновения бифуркаций, топология бифуркационных кривых и проведена идентификация их типа. В основе исследования лежат наиболее распространенные синергетические методы [4], позволяющие отследить не только численные, но и качественные аспекты динамики исследуемой системы.

Математическая модель, представлена в виде:

,

где - численность -ой группы людей в момент времени .

- коэффициент определяющий вероятность того что некая особь может перейти из -ой группы в группу с индексом . С коэффициентами перехода связано условие замкнутости системы . Понятно, что знак меньше, в этом выражении, возникает в силу неполноты системной картины, возникающей из-за ее сложности.

В качестве может быть выбран произвольный функционал, представляющий динамику тех или иных факторов в зависимости от приложения. В основе качественного исследования дифференциальной модели лежит метод предложенный Ляпуновым [5]. Суть метода состоит в:

· определение особых точек, аттракторов и репеллеров системы,

· определение численных и качественных особенностей динамики системы в локальных окрестностях особых точек,

· устойчивость точек равновесия,

· близость системы к бифуркационным состояниям, и аналитические условия перехода через них.

На основе разработанных моделей исследован вопрос об уровне эмпатии в современном обществе. В процессе моделирования были определены, а их значение выбрано экспертно, следующие факторы - уровень духовной и религиозной чувственности, личностными качествами (доброта, терпение, сострадание и т. д.), возраст, пол, материальное положение.

Несмотря на обилие тех факторов которые были рассмотрены, для размерности 2 система имеет всего четыре параметра , , , . При этом при . Для размерности количество констант составляет состоящие из коэффициентов перехода и коэффициентов скорости роста (напр. модель Мальтуса, Ферхъюльста и т. д.).

Разработан программный продукт для численной имитации количественных и качественных аспектов внутрипопуляционных процессов. В основе программы лежит численный расчет и дискретное построение таких элементов качественной теории как:

· фазовые портреты, бифуркационые диаграммы,

· графики динамики собственных чисел системы, при движении по заданной траектории бифуркационной диаграммы,

· спектральные развертки.

Предусмотрена возможность модернизации программного продукта. Расширение класса моделей, точечное и системное управление динамикой, использование дискретных составляющих позволяет не только провести полный анализ исследуемой модели, но и получить информацию о результатах допустимого управления. Предусмотрена возможность локализации исследования в необходимой области фазового пространства и пространства параметров для оптимизации работы программы. Программный интерфейс позволяет получить координаты необходимой фазовой точки, а также значения собственных чисел в соответствующих точках бифуркационных диаграмм.

Литература:

1. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика и хаос/ Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. - М.: Книга, 2006. - 240 с.

2. Кузенков А.А. Исследование качественных аспектов нелинейных решений систем дифференциальных уравнений//Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития 2009. Т16. - О. 2009. - С, 24-25

3. Кузенков А.А., Чернышенко С.В. Динамика внутривидового взаимодействия рас: описание с помощью вольтерровских систем// (MPZIS-2006). Тези доповідей–Д.,2006. С. 90-91.

4. Курдюмов С.П. Синергетика - теория самоорганизации/ Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиции математического моделирования. - М.,1988. - С. 79-136.

5. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения// Ляпунов А.М. Собр. соч. - М. - Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - Т. 2. - С.7-264.