Математика/4.Прикладная математика

Рябоштан А.Ф., к.т.н. Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет

сельского хозяйства им. П. Василенко

Построение пространственных решеток в расчетах межлопаточного пространства газовых турбин

При аэродинамических расчетах газовых турбин область, находящуюся между двумя соседними лопатками, приходится рассматривать как составленную из некоторого количества вложенных в нее областей. Для этого передняя и задняя поверхности лопатки в настоящее время аппроксимируются некоторой совокупностью плоских четырехугольников, общее количество которых определяется требуемой точностью аппроксимации.

Задание этих четырехугольников координатами их вершин, а также построение пространственной решетки между двумя соседними лопатками требует значительного объема памяти ЭВМ и из-за его нехватки бывает затруднительно.

Если поверхности, образующие решетку внутри рассматриваемого объема, задавать аналитически, то это позволит значительно сократить необходимый объем памяти ЭВМ.

Для решения этой задачи нами предложена трехпараметрическая формула /I/, задающая некоторый объем (рис. I), которая после ряда преобразований может быть записана в виде:

(1)

где:

(2)

Здесь:

(3)

- граничная кривая рассматриваемого объекта у точек которой

(4)

В выражении (4) – значения координаты Х в конечных точках рассматриваемой кривой и - значения производных по параметру W в этих точках. Аналогично определяются остальные криволинейные стороны рассматриваемого объема.

Производные могут быть определены одним из методов численного дифференцирования.

В нашем случае граничные кривые верхнего и нижнего оснований криволинейного шестигранника являются плоскими кривыми .

В этом случае имеют вид:

или (5)

Величина Z определяется как высота соответствующего сечения лопатки. Кривые сечений лопатки имеют вид:..

Если параметр U выразить через координаты концов в виде ,то параметрическое уравнение координаты Х примет вид:

(6)

Тогда параметрическое уравнение координаты Y имеет вид:

(7)

Дифференцированием (6) и (7) по параметру определяются частные производные в вершинах шестигранника.

Боковые ребра шестигранника – прямые линии. Их параметрические уравнения

(8)

;

(9)

Формула (2) может быть записана в виде более удобном для практического применения (через координаты вершин рассматриваемого криволинейного шестигранника и производные по параметрам в этих вершинах (рис.1)):

Рис. 1

Необходимым условием получения ортогональной пространственной решетки является наличие в ее основании ортогональной сетки двух семейств кривых. Построение такой сетки приведено в работе /2/.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сластин Ю.В., Рябоштан А.Ф. Трехпараметрическая формула задания поверхностей сложных технических форм.- В кН.»Применение новейших математических методов и вычислительной техники в решении инженерных задач». Сб.научн.тр.МИИСП, М.,1980.

2. Найдыш В.М., Сластин Ю.В., Рябоштан А.Ф. Некоторые вопросы построения ортогональных сеток полиномов. - В кн. «Прикладная геометрия и инженерная графика».Киев.Будивельник,1984,вып.38,с.99-100.