К.ф.-м.н. Казмерчук А.І.

Прикарпатський національний університет імені В. Стефаника

Аспірант Кузишин І.Я.

ІППММ ім. Я. Підстригача НАН України

Періодичні розв’язки лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з нелінійним збуренням

Розглянемо лінійну автономну систему диференціальних рівнянь зі збуренням, записану у векторному вигляді:

, (1)

де – вектор невідомих функцій, , – квадратна невироджена матриця розмірності , – вектор збурення.

Умова І: Нехай матриця має власні значення , (необов’язково всі різні) і відповідні власні вектори . Нехай виконуються умови:

, ;

.

Тут – множина індексів , (або – множина непарних індексів ), – параметри.

Теорема 1. При виконанні умови І система (1) 2-ої розмірності має нетривіальний періодичний розв’язок з умовою, що многовид , , , ( ) є одновимірним (відповідно двовимірним) лінійним підпростором у ( ).

Теорема 2. При виконанні умови І система (1) 4-ої розмірності має нетривіальний періодичний розв’язок з умовою, що многовид , , є двовимірним лінійним підпростором у .

Основним методом доведення теорем 1 і 3 є метод Пуанкаре (метод видалення «вікових» членів).

Розглянемо для прикладу систему (1) при з такими даними:

, , тобто виконується умова І.

Система (1) набуває вигляду:

. (1′)

За теоремою 1 система (1′) має нетривіальний періодичний розв’язок при умові, що многовид є одновимірним лінійним підпростором у . Знайдені многовид та періодичний розв’язок мають вигляд:

, (2)

,

,

де визначається з формули (2).

Розглянемо тепер систему (1) 2-ої розмірності.

Умова ІІ: Нехай для матриці виконується:

,

,

і вектор має вигляд

,

.

Параметр визначається з формули , .

Теорема 3. Нехай виконується умова ІІ, тоді для системи (1) існує нетривіальний періодичний розв’язок з умовою , яка визначає пряму на площині параметрів .

Вигляд функції залежить від функцій , , , .

Доведення теореми проводиться тим самим способом, що й для теорем 1 і 2.

Література:

1. Релей (Lord Rayleigh). On maintained vibrations. Philosophical Magazine and Journal of Science, Ser. 5, vol. 15, 1883. - p. 229 - 235.

2. Хайрер Э. / Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. - М. : Мир, 1990. - 512 с.

3. Казмерчук А. І., Кузишин І. Я. Узагальнення задачі Релея для автономних систем звичайних диференціальних рівнянь. Materialy VIII Międzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji "Wykształcenie i nauka bez granic - 2012", vol. 33, 2012. - str. 41 - 43.