Изучение формул квадриад

Евсеев В.И, канд. физ.-мат. наук, доцент,

г. Казань, РТ

УДК 681.32

Аннотация:

Квадриады представляют собой логические фигуры, из которых составлена игра в тетрис. В предлагаемых заметках изучается теоретическая основа этой модели на базе классической логики.

Ключевые слова: фигура, позиция фигуры, логическая матрица, ее линии, бинарные операции над фигурами.

Summary: The Kvadriady are logical form, which is the game of Tetris. The notes proposed examines the theoretical basis of this model based on classical logic. Keywords: figure, the position of a shape, a logical matrix, its lines, binary operations on Forms.

Вид фигур квадриад хорошо известен, так как они составляют основу игры в тетрис. Поэтому сами фигуры мы демонстрировать в различных позициях не будем, а сразу перейдем к построению их формул с помощью разработанного автором метода.

1. Формулы первой фигуры.

Как известно, существует всего пять фигур, состоящих из четырех клеток одного размера, каждую из них мы погружаем в соответствующий по размерам полигон (прямоугольник) так, чтобы фигура в данной позиции помещалась в нем вместе со своей оболочкой, и при этом некоторые клетки могут оставаться пустыми. Логическая матрица строится по виду фигуры на полигоне. Как мы уже отмечали, для построения формул логических фигур применяется матричный метод, в котором участвуют два типа высказываний: и , а также их отрицания, при этом первые из них характеризуются вертикальным столбцом значений, а вторые – вертикальной строкой. Размер стороны квадрата этой матрицы на единицу меньше суммы размерностей матрицы полигона, то есть, если полигон имеет вид , то размер квадрата логической матрицы равен: . (1)

Прежде всего, в этой матрице выделяется правый нижний блок, соответствующий изображению вмещающего полигона фигуры с ее оболочкой в рассматриваемой позиции, затем строятся «несущие» вертикальные и горизонтальные значения логических переменных (,), после этого диагональным методом в левом нижнем блоке изображаются переменные типа , причем четные ставятся сразу с отрицаниями . Затем устанавливаются высказывания типа в вернем правом блоке, также с учетом отрицания по четным значениям. В самом изображении полигона выделенная серым цветом на изображении позиции фигура отмечается единицами, клетки оболочки указываются нулями, а пустые клетки (если они имеются) отмечаются символом пустого множества и в дальнейшем анализе участия не принимают.

Мы применяем методику «больших матриц» (см. , которая в данном случае оказывается эффективной.

Для первой позиции линейной триады , которая изображается горизонтально и погружается в полигон получаем логическую матрицу:

		0	1	0	1	0	1
	0	0	0	0	0	0	0
	1	0	1	1	1	1	0
	0	0	0	0	0	0	0

Напомним, что последовательные пары строк этой матрицы составляют линию.

Для данной матрицы строит две ее линии:

(1.1)

(1.2)

Для вертикальной позиции этой фигуры получаем матрицу:

					0	1	0
				0	0	0	0
				1	0	1	0
				0	0	1	0
				1	0	1	0
				0	0	1	0
				1	0	0	0

Так в этой матрице мы получаем пять линий: ,,,,. Каждая линия представляет собой композицию бинарных операций. Например, для этого случая мы получаем:

, (1.3)

= , (1.4)

= , (1.5)

= , (1.6)

= . (1.7)

Вся формула этой позиции имеет вид дизъюнкции этих формул по линиям:

(1.8)

2. Формулы второй фигуры.

Вторая фигура не имеет осей симметрии, поэтому допускает восемь различных позиций. В данном случае исходная позиция приводит к логической матрице:

			0	1	0	1	0
		0	0	0	0	0	0
		1	0	1	1	1	0
		0	0	1	0	0	0
		1	0	0	0	Ø	Ø

Эта матрица имеет три линии, которые можно сразу записать:

, (2.1)

(2.2)

= . (2.3)

Вторая позиция этой фигуры приводит к логической матрице:

				0	1	0	1
			0	0	0	0	Ø
			1	0	1	0	Ø
			0	0	1	0	0
			1	0	1	1	0
			0	0	0	0	0

Значит, эта матрица имеет четыре линии, которые определяют формулы:

, (2.4)

=, (2.5)

= (2.6)

=. (2.7)

Следующая позиция имеет такую логическую матрицу:

			0	1	0	1	0
		0	Ø	Ø	0	0	0
		1	0	0	0	1	0
		0	0	1	1	1	0
		1	0	0	0	0	0

Значит, она имеет три линии, которые составляют формулы:

, (2.8)

= (2.9)

= (2.10)

Четвертый случай позиции для второй фигуры приводит к матрице:

				0	1	0	1
			0	0	0	0	0
			1	0	1	1	0
			0	0	0	1	0
			1	Ø	0	1	0
			0	Ø	0	0	0

Таким образом, получаем формулы линий этой матрицы:

(2.11)

= (2.12)

=, (2.13)

=. (2.14)

Теперь получаем матрицу , погруженную в полигон которая имеет три линии.

			0	1	0	1	0
		0	0	0	0	0	0
		1	0	1	1	1	0
		0	0	0	0	1	0
		1	Ø	Ø	0	0	0

Эта матрица позволяет найти формулы ее линий:

(2.15)

=(2.16)

=. (2.17)

Позиция позволяет построить матрицу:

				0	1	0	1
			0	0	0	0	0
			1	0	1	1	0
			0	0	1	0	0
			1	0	1	0	Ø
			0	0	0	0	Ø

Для этой матрицы находятся формулы ее четырех линий:

(2.18) (2.19)

, (2.20)

= . (2.21)

Следующая позиция получается также поворотом:

			0	1	0	1	0
		0	0	0	0	Ø	Ø
		1	0	1	0	0	0
		0	0	1	1	1	0
		1	0	0	0	0	0

На ее основе находим формулы линий:

(2.22)(2.23)

(2.24)

Для позиции находим логическую матрицу:

				0	1	0	1
			0	Ø	0	0	0
			1	Ø	1	1	0
			0	0	1	0	0
			1	0	1	0	0
			0	0	0	0	0

Теперь получаем формулы четырех линий этой матрицы:

(2.25)

(2.26)

(2.27)

= (2.28)

3. Формулы третьей фигуры.

Для первой позиции третьей фигуры квадриад находим матицу:

			0	1	0	1	0
		0	Ø	0	0	0	Ø
		1	0	0	1	0	0
		0	0	1	1	1	0
		1	0	0	0	0	0

Здесь мы получаем три логических линии, дизъюнкция которых составляет формулу всей фигуры.

(3.1)

= (3.2)

= (3.3)

Заметим, что эта фигура обладает симметрией, поэтому имеет только четырех позиции.

В результате поворота из первой позиции следует вторая :

				0	1	0	1
			0	Ø	0	0	0
			1	0	0	1	0
			0	0	1	1	0
			1	0	0	1	0
			0	Ø	0	0	0

Запишем формулы ее четырех линий:

(3.4)

= (3.5)

= (3.6)

=. (3.7)

После поворота получаем следующую позицию :

			0	1	0	1	0
		0		0	0	0
		1	0	1	1	1	0
		0	0	0	1	0	0
		1	Ø	0	0	0	Ø

В данном случае формула этой фигуры имеет три линии:

(3.8)

= (3.9)

= (3.10)

Последняя возможная позиция этой фигуры получается из предыдущей позиции также путем поворота:

				0	1	0	1
			0	0	0	0	Ø
			1	0	1	0	0
			0	0	1	1	0
			1	0	1	0	0
			0		0	0	Ø

Следовательно, формула здесь характеризуется четырьмя линиями:

(3.11)

= (3.12)

=

= (3.13)

4. Формула четвертой фигуры.

Эта фигура обладает двумя осями симметрии, поэтому у нее только одна допустимая позиция, для которой и составляется матрица:

				0	1	0	1
			0	0	0	0	0
			1	0	1	1	0
			0	0	1	1	0
			1	0	0	0	0

Логические линии здесь имеют вид:

(4.1)

= (4.2)

= (4.3)

Напомним, что вся формула фигуры является дизъюнкцией формул этих линий,

и мы можем, в принципе, найти область истинности каждой фигуры. Эти вопросы мы оставляем для следующего, более объемного труда.

5. Формулы пятой фигуры.

Пятая фигура допускает четыре позиции, рассмотрим их формулы.

Для первой позиции получаем матрицу:

				0	1	0	1	0
			0	0	0	0	0	Ø
			1	0	1	1	0	0
			0	0	0	1	1	0
			1	Ø	0	0	0	0

По этой матрице находим формулы ее линий:

(5.1)

(5.2)

= (5.3)

				0	1	0	1
			0	Ø	0	0	0
			1	0	0	1	0
			0	0	1	1	0
			1	0	1	0	0
			0	0	0	0	Ø

Вторая позиция имеет такую логическую матрицу:

Здесь формулы логических линий имеют вид:

(5.4)

= (5.5)

(5.6)

= (5.7)

Следующая позиция получается симметрией из начального вида:

				0	1	0	1	0
			0	Ø	0	0	0	0
			1	0	0	1	1	0
			0	0	1	1	0	0
			1	0	0	0	0	Ø

Таким образом, находим здесь формулы логических линий матрицы:

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Перейдем к последней возможной позиции

Так мы получаем логическую матрицу

				0	1	0	1
			0	0	0	0	Ø
			1	0	0	1	0
			0	0	1	1	0
			1	0	1	0	0
			0	Ø	0	0	0

Поэтому определяются линии этой матрицы:

=

Таким образом, мы получили все формулы для логических матриц различных возможных позиций квадриад.

Из этих результатов всегда можно определить области истинности каждой логической линии, следовательно, и каждой формулы изучаемой фигуры.

Литература:

1. Евсеев В.И. Конструктивная комплементарная семантика. Монография. Изд-во «Ламберт». 2014 г.2.

2. Евсеев В.И. Аспекты информознания //Труды международной научно-практической конференции «Новости передовой науки». Т.12 . 2014 г.(63-74).