Математика/5. Математическое моделирование

Стефанкин А.Е.

Кемеровский технологический институт пищевой промышленности, Россия

АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРОНИЦАЕМОСТИ МЕМБРАН ДЛЯ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРОВАНИЯ.

Мембранные методы эффективны в ряде процессов, связанных с концентрированием, очисткой и фракционированием жидких пищевых продуктов. Использование мембранных методов позволяет создать экономически высокоэффективные и малоотходные технологии переработки сырья животного происхождения, способствует улучшению качества пищевых продуктов, их биологической ценности и более полной переработке и использованию. Важной задачей остается повышение эффективности мембранных методов путем разработки нового мембранного оборудования.

Аналитическое моделирование – своеобразный математический подход в процессе исследования систем различной природы. Его цель – получение максимально точных решений. Сам процесс аналитического моделирования разбивается на три этапа. На первом этапе формулируются математические законы и зависимости, которые связывают отдельные объекты системы. Эти законы и зависимости формализуются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференцированных и т.д.). На втором этапе осуществляется решение уравнений и получение теоретических результатов. Для этого могут быть привлечены вычислительная техника и соответствующие технологии. На третьем этапе проводится сопоставление полученных результатов с реальностью, т.е. осуществляется проверка на адекватность.

Имитационное моделирование заключается в проведении на ЭВМ численных экспериментов с математической моделью, описывающей поведение сложной системы в течение периодов времени заданной продолжительности. Имитационное моделирование применяется, как правило, в тех случаях, когда аналитические способы исследования той или иной модели отсутствуют, или их поиск требует слишком больших затрат. Алгоритмы имитационного моделирования могут учитывать как детерминированные (определенные), так и стохастические (вероятностные) связи и зависимости, характеризующие моделируемую систему. Имитационное моделирование разбивается на два этапа. Первый заключается в конструировании модели реальной системы, второй – в проведении экспериментов на данной модели. Для реализации имитационного моделирования разработаны соответствующие алгоритмические языки.

В соответствии с основными положениями Стокса скорость фильтрации жидкостей Q через слой пористого материала толщиной h при малых значениях R_e под действием перепада давления ∆Р достаточно точно описывается уравнением Дарси:

= K × DP

Q

h × L (1)

где η- динамическая вязкость жидкости, K - коэффициент проницаемости среды, который должен учитывать все особенности течения, обусловленные свойствами пористой среды.

Все последующие исследования закономерностей фильтрации в рамках применимости закона Дарси, как правило, сводятся к рассмотрению взаимосвязи проницаемости и характеристиками фильтровальной среды или свойствами текущих через них жидкостей,

например уравнение Козени-Кармана:

K =	e ^3	(2)
	C × S ^2
или зависимость:
K = e × r ^2		(3)
	8 ×x

где ε – пористость среды; С – константа формы пор, S – удельная поверхность среды; ξ – извилистость. Выражения (2) и (3) идентичны,

если средний радиус пор r описывается уравнением:

= 2 × e

r

S

Если вместо r в (3) подставить его интегральное значение:

r ^2 =	1	^rmax
		∫r ^2 f (r)dr
	e
		0

где f(r) - функция распределения объемов пор по радиусам, то выражение для проницаемости примет вид:

K =	1	^rmax	(4)
		∫r ^2 f (r)dr
	×t
8		0

Следует отметить, что помимо полученного уравнения (4) не включающего в явном виде множитель ε, большое распространение имеют другие частные формулы, выражающие к через параметры пористой структуры, полученные как экспериментальным путем, так и на основе всевозможных описывающих её моделей. В случае одиночного прямолинейного капилляра такое решение, известное как уравнение Хагена-Пуазейля, можно получить (5) из баланса сил, действующих на жидкость, поскольку при стационарном течении жидкости перепад давления жидкости на входе и выходе из капилляра целиком расходуется на преодоление вязких сил внутреннего трения, определяемых интегрированием по радиусу капилляра уравнения вида:

F = h( ^¶^V )

(5)

^t ¶x

где F_τ – тангенциальная составляющая силы внутреннего трения,

отнесенная к площади соприкосновения частиц; V – локальная скорость жидкости, x - координата, перпендикулярная к направлению скорости движения жидкости.

В капилляре при этом реализуется так называемый пуазейлевский параболический профиль скорости течения, отвечающий уравнению

(применительно к цилиндрической модели):

V = - ^Ñ^P	(r ^2	- x ^2 )	(6)
4h

Существующая парадигма течения жидкости через пористые среды основана на трех основных допущениях:

1. Сопротивлением течению жидкости из-за изменения сечения пор в сравнении с вязким трением можно пренебречь.

2. Проницаемость пористой среды является только её геометрической характеристикой, независящей от свойств жидкости и поверхности пор.

3. По всему сечению пор распространяется только пуазейлевский профиль течения жидкости.

Это дает основание предполагать, что для течения жидкости при малых числах Рейнольдса потенциал её переноса расходуется только на преодоление сил поверхностного трения в порах. При этом среднее значение скорости течения в порах V_ср должно быть в x × e ^-1 раз больше рассчитанного по уравнению (1):

V_ср = Q ×x × e ^-1 (7)

С учетом вышеуказанных допущений и уравнений (4), (5), (6) и (7)

полная сила трения F_тp на поверхности пор может быть представлена в следующем виде:

_{Fтр =} 2 × S ² × F × L ×h ×x × Q e ²

где F – площадь поверхности пористой среды, отнесенная к её объему

Приравнивая F_тp к перепаду давления жидкости на границах пористого слоя толщиной L, умноженному на долю от габаритной поверхности, приходящуюся на поры DP × e × F получаем, что

Q =	e ^3 × DP
	2 ×h ×x × S ^2 × L

т.е. закон Дарси (1), где K находится в соответствии с выражением (2).

Оценивая возможность практического использования этих формул для предварительного расчета проницаемости промышленных мембран, примем во внимание, что при прочих равных условиях величина скорости фильтрации определяется параметрами полупроницаемой мембраны и физико-химическими свойствами разделяемой жидкой системы.

Сложность физико-химического состава и соответственно свойств реально используемых, например, в пищевой промышленности, жидких систем ставит под сомнение возможность учесть этот фактор введением в уравнение Хагена-Пуазейля или Дарси некоторого среднего значения вязкости. Для случая обратноосмотического баромембранного разделения, например, натуральной пищевой сыворотки, вполне возможно наличие в порах мембраны связанной воды. Она по своим физическим свойствам отличается от обычной, то есть свободной. Она может характеризоваться как вязко-пластичная жидкость, обладающая соответсвующей сдвиговой прочностью. При возникновении градиента давления незначительно превышающего некое начальное значение, определяемое этой сдвиговой прочностью, в нанопористых средах вполне может протекать процесс фильтрации, описываемый линейным законом Дарси. С такой точки зрения это можно считать нижней границей применимости линейного закона фильтрации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лобасенко, Б.А. Разработка математической модели процесса мембранного концентрирования на основе методов информационного моделирования / Б.А. Лобасенко, А.С. Шушпанников, Р.В. Котляров // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 4. – С. 89.

2. Рудобашта, С.П. Математическое моделирование процесса мембранной дистилляции / С.П. Рудобашта, С.Ю. Махмуд // Известия высших учебных заведений. Серия: Химия и химическая технология. – 2012. – Т. 55. –№ 11. – С. 100-103.

3. Схаляхов, А.А. Математическое моделирование процесса разделения жидких смесей в мембранном модуле с различной организацией потоков / А.А. Схаляхов, В.С. Косачев, Е.П. Кошевой // Известия высших учебных заведений. Пищевая технология. – 2009. – № 2-3. – С. 71-74.