МАТЕМАТИКА/5.Математическое моделирование

к.ф.-м.н. Искакова А. С., Токсанова С.С.

Евразийский национальный книверситет имени Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ CОЦИАЛЬНЫХ ВЫПЛАТ СТРАХОВОГО ПОРТФЕЛЯ НА СЛУЧАЙ УТРАТЫ ТРУДОСПОСОБНОСТИ

Модели прогнозирования, как отражение существующей реальности, оказываются совершенно необходимыми для описания очень многих явлений и ситуаций, встречающихся в повседневной жизни.

Одной из характерных особенностей поставленных перед управлением страховыми компаниями Республики Казахстан является составление прогнозов социальных выплат страхового портфеля.

Рассмотрим построение эмпирической функции«страховой компании» на случай утраты трудоспособности, заданной графически.

По консолидированной финансовой отчетности АО «Государственный фонд социального страхования» имеем статистические данные за последние 9 лет.

Нас интересует, как выглядит функциональная зависимость между x_i и y_i, где i принимает любые натуральные конечные значения.

Пусть y – функция одной переменной с двумя параметрами a и b. В качестве набора выбора функций, из которых будем иметь эмпирическую зависимость, рассмотрим:

Для наилучшего выбора вида аналитической зависимости y=f(x,a,b) построим следующие промежуточные вычисления. На заданном отрезке изменения независимой переменной выбирают точки, достаточно надежные и, по возможности, далеко отстоящие друг от друга. Будем считать, что это x₁ и x_k. арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое . По вычисленным значениям независимой переменной находим из статистических данных соответствующие значения переменной , , для пока еще неизвестной аналитической зависимости y=f(x,a,b). Вычислим среднее арифметическое крайних значений , среднее геометрическое и среднее гармоническое В итоге после проделанных вычислений оцениванием следующие погрешности:

, , , ,

Следующая теорема позволяет определить приближение к функциональной зависимости статистических данных социальных выплат страховой компании.

Теорема. Пусть . Тогда

1. если e=e₁, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит линейная функция ;

2. если e=e₂, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит показательная функция;

3. если e=e₃, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит дробно-рациональная функция ;

4. если e=e₄, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит логарифмическая функция;

5. если e=e₅, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит степенная функция:

6. если e=e₆, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит гиперболическая функция

7. если e=e₇, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит дробно-рациональная функция .

Доказательство теоремы можно найти в разных учебниках по таким направлениям как «Численные методы», «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика».

, , .

В нашем случае ,

,

,

,

,

,

Проводя сравнение погрешностей, определяем, что в качестве аналитической зависимости следует выбрать дробно-рациональную функцию .

Таким образом, из выше предложенной теоремы определяется вид эмпирической функции f(x,a,b). Коэффициенты a и b эмпирической функции f(x,a,b), можно определить несколькими способами, оптимальным из которых является метод наименьших квадратов. Найдем частные производные функции F(a,b) по варьируемым параметрам a и b. Если эмпирическая функция не является линейной зависимостью, то для удобного использования метода наименьших квадратов, необходимо свести к линейной зависимости.

При преобразовании функции, получаем, что а= -552,3192638 и b= 123302

Таким образом, получили аналитическое выражение эмпирической функции на случай утраты трудоспособности есть

Список литературы

1. Данилина Н.И. и др. Численные методы.

2. Малыхин В.И. Финансовая математика. –М.:Юнити, 2003. -237 с.

3. Волков И., Загоруйко Е. Исследование операций. М-2002.

4. Искакова А.С. Условие существования оценок максимального правдоподобия для параметров одного класса многомерных распределений // Известия МОН РК, НАН РК. 2004 г. №1. – С. 90-95.

5. Ледерман Э., Справочник по прикладной статистике т.2, – М., Финансы и статистика. 1990