Хомченко А.Н.

Черноморский государственный университет им. Петра Могилы,
г. Николаев, Украина

ЕЩЕ РАЗ О СИМПСОНОВЫХ ФИГУРАХ И ТЕЛАХ

Вступление. Статья посвящена знаменитому правилу Т. Симпсона
(1710-1761), котороя позволяет заменить определенный интеграл удачно подобранной интегральной суммой. Правило Симпсона ассоциируется с квадратичным интерполированием по трем значениям подынтегральной функции в начале, середине и конце интервала интегрирования.

Новая волна интереса к правилу Симпсона вызвана появлением семейства тел, названных симпсоновыми. Сюда входят тела, объем которых можно вычислить точно с помощью приближенной формулы Симпсона. Аналогично можно выделить семейство симпсоновых фигур (криволинейных трапеций).

Наши эксперименты с интегрированием различных функций по правилу Симпсона показали, что стандартные требования полиномиального представления подынтегральной функции и ограничение на степень полинома не являются априори необходимыми. Условия теоремы Симпсона можно нарушать, не нарушая ее заключения, т. е. вычислительной точности квадратуры с нулевым остатком.

Цель статьи – проиллюстрировать на примерах нечувствительность формулы Симпсона к нарушениям условий теоремы Симпсона.

Анализ предшествующих публикаций. Симпсон опубликовал свою формулу в 1743 г., хотя ранее она была получена Кавальери (1639) и Грегори (1668) [1]. В статье [2] приведена формулировка и доказательство теоремы Симпсона, а также дано определение симпсонова тела. На наш взгляд, это определение, строго соблюдающее условия теоремы Симпсона, существенно ограничивает семейство симпсоновых тел. Ниже сделана попытка ослабить некоторые требования теоремы или вовсе отказаться от них. Теорема называется «сильной» (по терминологии В. Н. Тутубалина), если она нечувствительна к подобным экспериментам. В математике такие примеры не редкость. Замечательной в этом смысле является теорема Пуассона в теории вероятностей [3]. Еще менее чувствительна к нарушению ее условий центральная предельная теорема. Убедившись, что теорема Симпсона относится к «сильным» теоремам, мы дадим более простое (как нам кажется) определение симпсонова тела (фигуры).

Основная часть. Напомним, как выглядит правило Симпсона на интервале :

(1)

где

Если – площадь поперечного сечения тела, заключенного между опорными плоскостями и , то по формуле (1) вычисляют объем тела. Если же – ордината криволинейной трапеции на , то (1) – площадь трапеции.

Подчеркнем, что полиномы не выше третьего порядка – это тот класс функций для которого формула (1) является квадратурой с нулевым остатком. Понятно, что в этом случае результат интегрирования по правилу Симпсона не отличается от результата интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие нечувствительность формулы (1) к нарушению условий теоремы Симпсона. Сначала ослабим ограничение на степень полинома и проинтегрируем известный полином Кунса 5-го порядка [4]. Этот полином применяется в системах автоматизированного проектирования кузовов высокоскоростных транспортных средств. Нетрудно убедится, что результаты точного и приближенного интегрирования совпадают:

(2)

Теперь откажемся от полиноминального представления Вычислим объем тела, образованного вращением вокруг оси трапеции, ограниченной сверху кривой И в этом случае результаты вычислений совпадают:

(3)

В формуле (2) мы имеем дело с симпсоновой фигурой (трапецией), а в формуле (3) – с симпсоновым телом. Этих примеров достаточно для того, чтобы предложить другое определение симпсонова тела, которое будет свободно от ограничений теоремы Симпсона.

Определение. Симпсоновым называется тело, объем которого вычисляется точно с помощью приближенной формулы Симпсона. Аналогично определяется симпсонова фигура.

Заметим, что конструирование фигур и тел симпсонова семейства – очень интересное и увлекательное занятие. Особого внимания заслуживают симметричные пары функций (кривых). Например, в формуле (2) можно использовать еще один полином 5-го порядка из симметричной пары [4] А при вычислении объема тела вращения (3) вместо взять симметричную на кривую Сумма функций симметричной пары на контрольном интервале всегда равна 1. Другие замечательные свойства симметричных пар будут описаны в отдельной статье. О вероятностных свойствах кривых Кунса можно прочитать в[5]. Нетрадиционные подходы к построению полиномов Кунса описаны в [6].

Выводы. Теорема Симпсона относится к «сильным» теоремам. Она дает больше, чем от нее ожидают. Приведенные примеры подсказали более простое определение для тел и фигур симпсонова семейства.

Литература

1. Джеффрис Г. Методы математической физики. Вып. 2 / Г. Джеффрис, Б. Свирлс. – М. : Мир, 1970. – 352 с.

2. Кукуш О. Г. Призматоїд та його об’ем / О. Г. Кукуш, Р. П. Ушаков // У світі математики. Том 8, вип. 2, 2002. – С. 46-50.

3. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей в естествознании / В. Н. Тутубалин. – М. : Знание. 1972. – 48 с.

4. Математика и САПР. Кн. 2 / Жермен-Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. – М. : Мир, 1989. – 264 с.

5. Хомченко А. Н. Интерполяционные функции Кунса и распределения вероятностей / А. Н. Хомченко // Вестник ХНТУ. Вып. 47 (2), 2013. – С. 363-366.

6. Хомченко А. Н. Про нетрадиційні підходи до конструювання поліномів Кунса / Хомченко А. Н. // Т9ези Всеукр. н/м конф. «Могилянські читання: 2014». – Миколаїв : ЧДУ ім. П. Могили. 2014. – С. 94-95.