УДК 519.6

Алибиев Д.Б., Кажикенова А.Ш.

О СХОДИМОСТИ

линейной задачи океанологии

Многие гидродинамические модели для решения определения качества воды океана и разных водоемов сводятся к решению гидростатических моделей атмосферы и океана. Особенность моделей заключается в том, что системы уравнений интегро-дифференциальные.

Пусть дана система уравнений линейной стационарной модели океана

(1)

(2)

S – граница области (3)

В области аппроксимируем уравнения (1), (2)

(4)

(5)

S_h - граница области . (6)

Рассмотрим итерационный метод для численного решения задачи (4) - (6):

(7)

(8)

где вектор

Разностная схема (4) – (6) имеет единственное решение. Для решения этой схемы справедлива оценка

Данная схема имеет первый порядок аппроксимации и сходится со скоростью . Оценим скорость сходимости итерационного метода к решению задачи (4), (6). Введем следующие обозначения

где решения задачи (4) - (6). Тогда для получим однородные уравнения

(9)

(10)

(11)

Из формулы (10) найдем , подставим найденное значение в (9), в результате получим

(12)

Умножим выражения (10), (12) на просуммируем по точкам области соответственно, в результате этого будем иметь

(13)

(14)

Преобразуем слагаемые

(15)

Учитывая (15), умножим (13), (14) на и сложим их, в результате получим

(16)

Заметим, что существует положительная постоянная , не зависящая от шага сетки. Для него справедливо неравенство

(17)

. (18)

Отбросим отрицательные слагаемые в правой части (16) и возьмем так, чтобы (-)>0. Тогда с учетом (17), (18) имеем

(19)

Отсюда видно, что при Но из формулы (19) получить скорость сходимости затруднительно. Для получения оценки скорости сходимости сделаем следующие преобразования: умножим (19) на любую сеточную функцию, которая обращается в ноль на границе, затем просуммируем по точкам области. В результате имеем:

Отсюда получаем следующую оценку

(20)

или

(21)

С учетом формулы (17) из формулы (20) получим

(22)

Умножим неравенство (22) на положительное число сложим его с формулой (19). Полагая, что получим

(23)

Применяя неравенства

из формулы (23) получим

Последнее неравенство перепишем в виде

Отсюда получаем

где

Нами доказан следующая теорема

Теорема 1. Пусть выполнены условия (23). Тогда решение задачи (7) – (8) сходится к решению задачи (4) – (6) со скоростью геометрической прогрессии.