УДК 519.6

Алибиев Д.Б., Кажикенова А.Ш.

 

ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ

 линейной задачи океанологии

 

Многие гидродинамические модели для решения определения качества воды океана и разных водоемов сводятся к решению гидростатических моделей атмосферы и океана. Особенность моделей заключается в том, что системы уравнений интегро-дифференциальные.

Пусть дана система уравнений линейной стационарной модели океана

                                                                           (1)

                                                                                                (2)

  S – граница области                                              (3)

В области  аппроксимируем уравнения (1), (2)

                                                                              (4)

                                                                             (5)

 Sh - граница области .                                                                                    (6)

Рассмотрим итерационный метод для численного решения задачи (4) - (6):

                                     (7)

                (8)

где вектор

Разностная     схема (4) – (6) имеет единственное решение. Для решения этой схемы справедлива оценка

Данная схема имеет первый порядок аппроксимации и сходится со скоростью . Оценим скорость сходимости итерационного метода к решению задачи (4), (6). Введем следующие обозначения

где решения задачи (4) - (6). Тогда  для  получим однородные уравнения

                                    (9)

                                                                                  (10)

                                      (11)

Из формулы (10) найдем , подставим найденное значение в (9), в результате получим

         (12)

Умножим выражения (10), (12) на   просуммируем по точкам области  соответственно, в результате этого будем иметь

                                     (13)

                 (14)

 

Преобразуем слагаемые

             (15)

Учитывая (15), умножим (13), (14) на  и сложим их, в результате получим

                 (16)

Заметим, что существует положительная постоянная , не зависящая от шага сетки. Для него справедливо неравенство

                                                        (17)

.                                                                  (18)

Отбросим отрицательные слагаемые в правой части (16) и  возьмем так, чтобы (-)>0. Тогда с учетом (17), (18) имеем

            (19)

Отсюда видно, что  при  Но из формулы (19) получить скорость сходимости затруднительно. Для получения оценки скорости сходимости сделаем следующие преобразования: умножим (19) на любую сеточную функцию, которая обращается в ноль на границе, затем просуммируем по точкам области. В результате имеем:

Отсюда получаем следующую оценку

   (20)

или

                                                                                   (21)

С учетом формулы (17) из формулы (20) получим

                                                 (22)

Умножим неравенство (22) на положительное число  сложим его с формулой (19). Полагая, что  получим

                                    (23)

Применяя неравенства

              

из формулы (23) получим

                        

Последнее неравенство перепишем в виде

                    Отсюда получаем

где

Нами доказан следующая теорема

Теорема 1. Пусть выполнены условия (23). Тогда решение задачи (7) – (8) сходится к решению задачи  (4) – (6) со скоростью геометрической прогрессии.