Кремер Л.Ф.

Учитель математики КГУ «Гимназия№3», г.Караганды, Казахстан

Решение задач с параметрами.

Решение задач с параметрами требует наличия определенной математической культуры. С решением задач с параметрами приходится сталкиваться не только в математике. Очень многие законы и закономерности из физики, экономики и других областей описываются уравнениями и неравенствами с параметрами. Фактически, решая задачи по физике, химии, экономике и некоторым другим школьным дисциплинам, ученик имеет дело с параметрами. Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы. Задачи с параметром стали неотъемлемым атрибутом тестовых вопросов. Известно, что большую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Решение этих задач открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности. С помощью таких задач можно проверить первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курсом математики. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются и с другими задачами.

Цель: познакомить учащихся с техникой решения задач с параметрами, провести исследование решений наиболее распространенных задач, а результаты исследований и обобщений применять для дальнейшего изучения математики

Задачи: 1. рассмотреть решения простейших уравнений и неравенств с параметрами и познакомить с основными приёмами решения таких задач.

2. используя свойства квадратичной функции y = ax2 + bx + c, научить выписывать систему неравенств, равносильную условию задачи, и тем самым рассматривать различные приёмы решения квадратного трёхчлена с параметром.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным. Так, с параметрами мы встречаемся при введении некоторых понятий. Рассмотрим в качестве примеров следующие объекты: · функция прямая пропорциональность; у = кх (х и у - переменные;к — параметр, к 0); линейная функция: у = кх+b (х и у — переменные; к и b - параметры); линейное уравнение: ах + b = 0 (х — переменная; а и b - параметры); уравнение первой степени: ах + b = 0 (х — переменная; а и b - параметры, а 0); квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 (x — переменная; а, b и с — параметры, а 0).

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров. Рассмотрим ряд примеров. 1. Сравнить - а и 3а. Решение, Естественно рассмотреть три случая: если а < 0, то - а > 3а; если а = 0, то - а = 3а; если а > 0, то - а < 3а.

2. Решить уравнение ах = 1. Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х = . Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так: Ответ: Если а = 0, то нет решений; если а 0, то х = . 3. Решить уравнение (а2-1)х = а+1. Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи: 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений; 2) а = - 1; получаем 0x = 0, и очевидно х - любое. 3) а ± 1; имеем х = .

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение.Тем не менее мы считаем целесообразным привести Ответ: Если а = - 1, то х - любое; если а = 1, то нет решений; если а ± 1, то х = .4. Решить неравенство ах < 1.Решение. Как и ранее, анализ трех возможностей а > 0, а = 0, а < 0 позволяет получить следующий. Ответ: Если а < 0, то х > ; если а = 0, то х - любое; если а , то х < . 5. Решить неравенство |х + 3| > - а2. Решение. Ясно, что при а 0 правая часть неравенства отрицательна, и тогда при любом х левая часть больше правой. В случае, когда а = 0, важно не упустить, что исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х = - 3. Ответ: Если а 0, то х - любое; если а = 0, то х < - 3 или х > - 3. 6. Решить уравнение |х2 - 1| + |a(x - 1)| = 0. Решение. Это уравнение равносильно системе |х2 - 1| = 0, |а(х - 1)| = 0. Имеем х 2- 1 = 0, а(х - 1) = 0. При а 0 второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х = 1. Если же а = 0, то из второго уравнения получаем х - любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения: х = 1 или х = -1. Ответ: Если а 0, то х = 1; если а = 0, то х = ± 1. 7. Решить уравнение = 0.

Решение. х = а - единственный корень. Понятно, что условие х 1 влечет за собой требование а 1.Ответ: Если а 1, то х = а; если а = 1, то нет решений. Выскажем два соображения по поводу роли параметра в приведенных примерах 1 -7. Во-первых, искомые значения х выступали в роли зависимой переменной, а параметр - независимой. Отсюда и возникло «расслоение» решения с учетом определенных значений параметра. Во-вторых, условие задач отводило параметру скромное место, - не ясно было, повлияет ли его присутствие на ход решения. Дальнейшее знакомство с параметром поведем в несколько ином направлении. Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и др. Обратимся к конкретным примерам. 8. При каких а неравенство (x - a)(x - 2) 0 имеет единственное решение? Решение. Легко догадаться, что a = 2 удовлетворяет требованию задачи. Действительно, при a = 2 получаем неравенство (х - 2)2 0, имеющее единственное решение. Для случая, когда a 2, решением неравенства очевидно будет отрезок. Ответ: а = 2. 9. При каких а решением неравенства (x - a)2(x - 2)(x + 3) 0 будет отрезок?Решение. Так как (х - а)2 0, то данное неравенство равносильно совокупности (х - 2)(х + 3) 0, х = а. Решением неравенства совокупности будет отрезок [-3; 2]. Следовательно, при a [-3; 2] решением совокупности также будет отрезок. Ответ: -3 a 2. 10. При каких а уравнение ах2 – х + 3 = 0 имеет единственное решение? Решение. Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12а принимает значение, равное нулю, при а = . Ответ: а = 0 или а = . Литература:

1. Шестаков, С.А. Уравнения с параметрами С.А. Шестаков, Е.В. Юрченко.- М.: Слог, 1993.

2. Ястребинецкий, Г.А. Уравнения с параметрами Г.А. Ястребинецкий.

3. Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами В.В. Мирошин.- М.: 2009.