Математика/5. Математическое моделирование

К. п. н. Коробская А. В.

Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина,

Украина

Об операторе двойного интегрирования

Теория модельных представлений несамосопряженных операторов является развивающимся направлением функционального анализа. Первые фундаментальные исследования в этом направлении были получены в работах М. С. Лившица [1] по теории характеристических функций, что дало предпосылки к появлению работ по теории спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов [2], треугольных и жордановых представлений линейных операторов [3], операторов в гильбертовом пространстве [4]. Для несамосопряженных операторов аналогом спектральных разложений являются треугольные модели. Отметим, что оператор двойного интегрирования, представленный в работе, в данном аспекте не изучался.

Рассмотрим оператор двойного интегрирования вида : , где , , ,

. (1)

Сопряженный оператор к оператору (1) будет иметь вид:

.

Включим оператор в узел, т. к. – линейный, ограниченный оператор. В нашем случае . Построим гильбертово пространство . Вычислим . Обозначим . Найдем замыкание образа оператора .

.

Тогда

. (2)

Из (2) следует, что . Значит, .

Итак, пространство имеет вид:

, (3)

и его можно представить как ортогональную сумму , где , , .

Возьмем , . Введем в (3) скалярное произведение для и :

, .

Очевидно, что пространство является гильбертовым пространством.

Определим оператор , причем . Для этого зададим ортопроекторы , такие, что:

, (4)

, (5)

. (6)

Можно доказать, что , , и , , , .

Определим ортопроектор

, (7)

где , , а , , имеют вид (4), (6), (5), соответственно.

Найдем такое, что , . Для и любых функций выполнено , . Подействовав на полученные функции оператором (7), получим, что имеет место следующая лемма.

Лемма. Если в имеет вид:

, (8)

то выполняется узловое соотношение:

,

где оператор определен формулой (1), а оператор равен (7).

Итак, построили оператор . Нами доказана следующая теорема.

Теорема. Совокупность образует узел, где определяется условием (1), – условием (7), – условием (3), – условием (8).

Таким образом, в данной работе изучен оператор двойного интегрирования, который действует в пространстве , где . Осуществлено включение данного оператора в узел и описаны параметры узла.

Литература:

1. Лившиц М. С. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах / М. С. Лившиц, А. А. Янцевич. – Х. : Изд-во Харьк. ун-та, 1971. – 160 с.

2. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов / В. А. Золотарев. – Х. : [ХНУ], 2003. – 342 с.

3. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов / Бродский М. С. – М. : Наука, 1969. – 287 с.

4. Надь Б. С. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. С. Надь, Ч. Фояш. – М. : Мир, 1970. – 431 с.