Ст. преп. Дзогий И.В.

Брянский государственный университет имени ак. И.Г. Петровского, Россия

Многомерная задача Римана для сложных канонических особенностей.

В теории краевых задач и сингулярных уравнений в негладких областях ключевым моментом является исследование обратимости модельного оператора в канонической области. Символ такого оператора не зависит от пространственной переменной. При условии гладкости границы канонической областью будет полупространство, для которого условия обратимости следуют из теории классической краевой задачи Римана для нижней и верхней полуплоскости. Если же граница области негладкая (конус или ребро), был предложен метод волновой факторизации (см. [7], [8]), который является многомерным обобщением метода Винера-Хопфа. Но канонические особенности могут быть более сложными. Рассмотрим плоский случай - вершина конуса, состоящая из двух острых выпуклых конусов.

Пусть – –тый квадрант плоскости , и пространство функций, квадратично интегрируемых по Лебегу. - подпространство из функций, допускающих аналитическое продолжение в радиальные трубчатые области над квадрантами , и удовлетворяющих условию

. (1)

- подпространство из , которое является ортогональным дополнением к , т.е.

. (2)

Таким образом, многомерную задачу Римана можно сформулировать следующим образом:

Задача 1. Найти пару функций и таких, что

(3)

(4)

И почти всюду на удовлетворяют условию

, (6)

где заданные функции.

Решить задачу (6) довольно затруднительно, но ее решение можно связать с решением двух других задач, которые решаются с помощью метода волновой факторизации. Формулировка этих двух задач следующая:

Задача 2. Найти пару функций и почти всюду на удовлетворяющих линейному соотношению

(7)

где и заданные на функции.

Задача 3. Найти пару функций и почти всюду на удовлетворяющих линейному соотношению

(8)

где и заданные на функции.

В ходе исследований было выяснено, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1.

Каждому решению задачи 2 и 3 соответствует решение задачи 1с

, . (9)

Обратно, каждое решение задачи 1 можно записать в виде задач 2 и 3.

Из равенства (9) выразив через получим

(10)

Теорема 2. (Условия разрешимости задачи1.)

Если функция ограничена сверху и снизу положительными константами, и допускает 0-волновую факторизацию относительно , то задача 1. имеет единственное решение.

Литература

1. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. / В.А. Кондратьев // Труды Московск. матем. о-ва. 1967. Т.16. С. 209-292.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука,1968.

3. Вишик М.И., Эскин Г.И. Уравнения в свертках в ограниченной области. / М.И. Вишик, Г.И. Эскин. // Успехи математических наук. 1965. Т. 20, №3. С. 89-152.

4. Васильев В.Б. Регуляризация многомерных сингулярных интегральных уравнений в негладких областях. / В.Б. Васильев // Труды Московск. матем.о-ва. 1998. Т. 59. С.73-105.

5. Васильев В.Б. Волновая факторизация эллиптических символов. / В.Б. Васильев // Математические заметки. 2000. Т. 69, №5. С. 653-667.

6. Владимиров В.С. Методы теорий функций многих комплексных переменных. В.С. Владимиров. М.: Наука, 1964.

7. Васильев В.Б., Щербенко И.В. Сингулярные интегральные уравнения, связанные с многомерными сложными особенностями. / В.Б. Васильев, И.В. Щербенко // Вестник Харьковского национального университета. - Хорьков. - 2005. - Т. 4, № 661 - С. 61-68.

8. Васильев В.Б., Щербенко И.В. Многомерная задача Римана для сложных особенностей. / В.Б. Васильев, И.В. Щербенко // Труды XII международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". - Харьков-Херсон- 2005. - С. 59-62.

9. Дзогий И.В. Многомерные сингулярные интегральные уравнения, связанные со сложными каноническими особенностями. / И.В. Дзогий // Материалы XI международной научно-практической конференции, «Перспективные научные исследования – 2015». Том 14. Математика Физика. София (Болгария): Бял ГРАД-БГ ООД, 2015. – С. 3-6.