Кажикенова А.Ш., Алибиев Д.Б., Турдыбекова К.М., Турдыбеков К.М., Герасимова К.

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова,

г. Караганда, Казахстан

Итерационная схема для решения сеточных уравнений

Навье - Стокса

 

Как известно, задача о стационарном движении вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению краевых задач [1]:

(uÑ)u - Ñq =mDu+¦,

                                               divu=0,                                             (1)

v          =0.

                                                           s

Кроме этого известно, что решение данной задачи существует, и оно достаточно гладкое.

  Рассмотрим следующую известную разностную задачу [2]

                               + m=1,2                       (2)

                                                                                                (3)

                                                      =0.                                                  (4)

              s1´s2

Оператор Lm,h является разностной аппроксимацией конвективных слагаемых уравнений движения и имеет вид

                                                         Lm,h=,                                      (5)

где  такие, что   для всех сеточных функций, определенных на W1´W2 с нулевыми значениями на S1´S2. Например, в двумерном случае можно записать в таком виде

где

  Теорема 1. Пусть . Тогда существует решение задачи (1)-(3) и для решения справедлива оценка .

  Доказательство. Будем использовать лемму о неподвижных точках Брауэра.

  Лемма 1. Пусть x®P(x)такое непрерывное отображение Rm в себя, что для подходящего r>0, (P(x),x)³0, "x из сферы ½x½=r, где x=(xI), z={zi}, мы полагаем, что (x,z)= . Тогда найдется такое x, ½x½£r, что P(x)=0.

  Умножим (1) на um и просуммируем по области W1´W2, и учитывая (5), получим равенство 

Отсюда следует, что

Составим вектор

x={u11/2,1,u11/21,…,u1N+1/2,1,…,u1-1/2N-1/2,…,uN+1/2,N-1/2, u1N+1/2,N+1/2,…,u21-1/2,…,u21,…,u2N+1/2,…,u2N-1/2,-1/2,…,u2N-1/2,N+1/2,u2N+1/2,-1/2,…,u2N+1/2,N+1/2,P11,…,P1N,…,PN1,…,PNN}.

Положим, что вектор z=

Тогда

Значит  если, причем последние условия выполняются при  где достаточно велика.

Отсюда в силу леммы следует, что существует хотя бы одно решение задач (1)-(5). Покажем, что решение задачи (1)-(3) устойчиво по правой части, если m - достаточное большое. В самом деле, пусть  и  решение задачи (1)-(3), соответствующее правой части  f1,f2. Тогда для разностей получим

                                                                        (6)

     =   =0.

         

Преобразуем нелинейные слагаемые

Умножим (6) на u1m-u2m, просуммируем по области W1´W2 и в результате получим

              (7)

Оценим левую часть (7) по неравенству Гёльдера

Отсюда из (7) следует, что

В свою очередь  Отсюда следует, что  при достаточно большом m. Итак, устойчивость разностных схем (1)-(3) доказана.

Для нахождения решения (1)-(3) используется итерационный процесс вида

  (8)

                                                                                (9)

un+1  =0.

             S1´S2

 

Список использованных источников

1. Владимиров Н.Н., Кузнецов Б.Г., Яненко Н.Н. Численные рас­чёты симметричного обтекания пластинки потоком вязкой не­сжимаемой жидкости. - В кн: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. - Новосибирск, 1966. -с.29-35.

2. Ладыженская О.А., Ривкинд В.Я. О сходящихся разностных схемах для уравнений Навье-Стокса // Численный метод меха­ники сплошной среды. - Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, том 3. I97I. - № 1. - C.55-73.