Математиканы оқытудағы кейбір сұрақтар

Бейсенова Д.Р. Қарағанды қ., Е.А.Букетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті Математиканы және информатиканы оқыту әдістемесі кафедрасының аға оқытушысы

Қазіргі уақытта білім беру үрдісі заман талабына сай өркендеу үстінде. Білімді ұрпақ болу үшін оны білім нәрімен сусындататын оқытушылардың, яғни ұстаздардың білімі сапалы да жоғары болуы шарт. Еліміздің экономикасы өркендеп, дамып, өндіріс орындарның жаңа бағыттарда дамуына байланысты математика, физика-техника салаларының ғалымдарына, білікті мамандарына деген сұранысы бұл күнде артып отыр. Ал, ел болашағы – бүгінгі жас ұрпақтың білімділігі мен іскерлігіне тікелей байланысты болмақ. Ендеше саналы, салауатты, ұғымды, халқымыздың барлық дәстүрлеріне де, әлем мәдениетіне де қанық, ел тізгінін берік ұстай білетін ұрпақ тәрбиелеу мұғалімдерге сеніп тапсырылған. Қазіргі заманғы білім беруге қойылатын басты талап – оның сапасын арттыру.

Елбасымыздың жолдауында айтылғандай: Білім беру реформасы – Қазақстанның бәсекеге нақтылы қабілеттілігін қамтамасыз етуге мүмкіндік береді. Бізге экономикалық және қоғамдық жаңару қажеттіліктеріне сай келетін осы заманғы білім беру жүйесі қажет, - деп айқын көрсетті. «Еліміздегі математикалық білім беру өзінің даму және қайта құрылу кезеңінде өте жауапты мезгілді басынан өткізіп отыр. Оның өзектілігі 2015 жылға дейінгі білім беруді жетілдіру тұжырымдамасында көрсетілгендей бүгінгі таңда мектепке қойылатын талаптардан шығады» [1].

Болашақ мамандарды бүгінгі таңда мектеп партасында отырған оқушыларды тәрбиелеп, өсіріп шығаруға болатыны түсінікті. Олай болса, оқу-тәрбие үрдісінің сапасын арттырудың маңызды құрамдас бөлігіне математикалық білім беруді ары қарай жетілдіру жатады. Оқытудағы педагогиканың түйінді мәселелерінің тағы бірі – оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамыту, алған білімдерін тиімді қолдануға үйрету, математика пәнін меңгерудегі белсенділіктерін арттыру, жалпы адамгершілік тәрбие беру болып табылады. Көптеген әдіскерлердің зерттеулері ойлау қызметінің белсенді дамуында айрықша міндеттер атқарады. Оқушылардың математикалық теорияны меңгеруде, шығармашылық қабілет пен өзіндік ойлау қабілеттерін дамыту процесінде, оқу материалдарын сапалы игеруі үшін мұғалімнің әдіскерлік шеберлігі мен дайындығына да қойылатын талаптардың ауқымы кеңейе түседі.

Математиканы үйренуді басқа пәндермен, атап айтқанда тарихпен, ұштастыра отырып, математиканың дамуына практиканың қандай әсері мен ықпалы тиетінін атап көрсете отырып, біз сонымен оқушыларда диалектикалық ойлау қабілетінің дамуына және оларда дүниетаным көзқарасының қалыптасуына жәрдемдесетін, олардың ақыл-ойының өсіп жетілу процесіне, оқу материалын саналы түрде игеруіне көмектесетін боламыз. Математиканың мектептік курсын осылайша тереңірек ұғынып игеру, әрине, оқушылардың пәнге деген ынтасын арттыра түсетіні сөзсіз.

Тарихи мәліметтер қандай түрде баяндалса да, атап айтқанда, қысқаша әңгіме, экскурсия, шағын анықтама, есеп шығару, суреттерді көрсету және оған түсініктеме беру түрінде баяндалса да, бұған жұмсалған уақытты зая деп санауға болмайды, тек ол үшін мұғалім тарихи мәліметті сабақта қарастырылып отырған теориялық материалмен тығыз байланыстыра хабарлайтын болуы керек. Осылайша байланыстыру нәтижесінде оқушылардың пәнге деген ынтасы күшейеді, сонымен олардың оқуының тиімділігі артады. [2]

Сандық тізбектер тақырыбын бастағанда да осы тарихи мәліметтерге тоқталудың маңызы зор. Ол оқушылардың материалға деген қызығушылығын арттыратыны сөзсіз. Ертедегі халықтардың да сандардың әртүрлі қасиеттері жайлы түсініктері болған. Біздің жыл санауымызда бұрынғы вавилондықтардың кестелік жазбаларында, египедтіктердің папирустық жазбаларындағыдай арифметикалық және геометриялық прогрессиялар мысалдары кездеседі. Прогрессиялармен байланысты теориялық мәліметтер бізге ертедегі Грек қолжазбалары арқылы жетті. Оған қатысты кейбір теоремалар үнді ғалымдарына да белгілі болған. XIII ғасырда өмір сүрген италяндық математик Леонардо Фибоначчидің «Абак кітабында» (1202) кез келген арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындыларының ережелері баяндалады. Сонымен бірге сандық тізбектерге арналған тарихи есептер де қарастырылады.

Мәселен, ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген. Архимед фигуралардың аудандары мен денелердің көлемдерін есептеуде сан тізбегінің бірнеше мүшелерінің қосындысын таба білген. Ол екенін қорытып шығарған. [3]

Тағы бір мысал, ертедегі үнді патшасы Шерам шахмат ойынын ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны марапаттау мақсатында оған қалағанын алуды ұсынады. Сонда Сета шахмат тақтасындағы 64 шаршының біріншісіне 1 дән, екіншісіне 2 дән, үшіншісіне 4 дән, төртіншісіне 8 дән, және т.с.с., яғни шаршыға алдыңғысынан 2 есе көп дән беруді өтінеді. Алғашында патша өнертапқыштың бұл «тым болмашы» тілегіне таң қалып, оны орындауға бұйрық бергенімен, артынша бұл тілекті орындауға өз қазынасынаң жетпейтініне көзі жетеді. Шынында да, өнертапқыш сұраған дәндер саны қосындысына тең, ал бұл қосынды 18446744073709551615 санына тең. Егер бір пұп астықта 40000 дән бар десек, онда бұл тілекті орындау үшін 230584300921369 пұт астық қажет екен. Қазақстанда бір жылда жиналатын астық мөлшері орта есеппен 1000000000 пұтқа тең десек, онда бұл тілекті орындау үшін еліміз ішпей-жемей 230 584 жыл еңбек етуі қажет. Арифметикалық прогрессиялар үшін жазылған формуласына байланысты атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың өмірінен қызықты эпизод аңызға айналған. Мұғалім өзге сынып оқушыларын тексеру мақсатында алдындағы оқушыларына 1-ден 40-қа дейінгі сандардың қосындысын табуды тапсырады. Бұл есепті 9 жасар Гаусс бір минутта шығарып, жауабын айтқан. Оның есепті шығару тәсілі мынадай еді:

1+40=41, 2+39=41, 3+38=41, ..., 20+21=41.

Мұндай жұптар саны 20 болғандықтан, берілген қосынды -ға тең, яғни Гаусс арифметикалық прогрессия заңдылықтарын қолданған. [4]

Сандық тізбектер тақырыбын оқып-үйрену кезіндегі негізгі мәселелер: сан тізбегі ұғымы, оның қасиеттері, арифметикалық және геометриялық прогрессиялар, олардың -ші мүшелері және алғашқы мүшесінің қосындысының формулалары, сан тізбегінің шектерін қарастыру болып табылады.

Кез келген ұғымның қалыптасуы – ұғымның құралуының алғашқы кезеңі, ұғымның бастау алатын орны. Бұл кезең сан алуан әдістер жәрдемімен, әртүрлі жолдармен жүзеге асырылады.[5]

Сан тізбегі ұғымын енгізу үшін алдымен мысалдар қарастырайық.

Жұп оң сандарды өсу ретімен жазайық. Ондай бірінші сан 2, екінші сан 4, үшіншісі 6, төртіншісі 8, т.с.с. Сонда

2; 4; 6; 8; 10; 12;...;

тізбегін аламыз. Бұл тізбекте байқап отырғанымыздай бесінші орында 10, оныншы орында 20, жүзінші орында 200 саны тұратыны айқын. Жалпы алғанда кез келген натурал саны үшін оған сәйкес болатын оң жұп санның болатынын байқауға болады.

Дәл күндізгі 12 сағатта автономды өлшеу құрылғысы ауа температурасы, қысымы жайлы және де өзі орналасып тұрған жер қыртысы туралы ақпараттарды станцияға жіберіп тұрады. Егер күнделікті келіп түскен ауа температурасын жазып отырса, онда бірінен кейін бірі келген сандар тізбегін аламыз, айталық

28, 24, 12, 32, 28, ... .

Бұл сандардың жиынын құрылғы жұмысын тоқтатқанға дейін келетін сандар құрайтын болады. Осылардың ішінде қайталанатындары болуы мүмкін.

Леонардо Фибоначчидің кітабында жазылған тарихи есепті қарастырайық.

Қоянның екі жұбы екі айлығынан бастап, жаңа жұпты өмірге әкеледі. Егер алғашқы қоян қаңтарда пайда болса, онда желтоқсанда қанша жұп қоян болады? (барлық қоян тірі болады деп ұйғарамыз)

Бұл есепті шешудің түсінікті болуы үшін шілде айына дейінгі сандарының көбейгендігін кесте түрінде көрсетуге болады. Дөңгелек – қояндар жұбын білдіреді. Төмен бағытталған стрелка – осы жұптың келесі айда, ал оңға бағытталған стрелка осы жұптың туғанын білдіреді. Егер ай сайынғы жұптардың санын жазсақ: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13. Бұл сандардың жазылу заңдылығын байқасақ, үшінші саннан бастап, әрбір сан өзінің алдындағы екі санның қосындысына тең. (1 кесте) Мысалы, қояндардың шілдедегі саны алдыңғы екі айдағы сандарының қосындысы тең. Енді желтоқсанда қоянның саны қанша болатынын есептеу қиын емес. (2 кесте)

Бұл есепті шешу барысында жазылған сандар Фибоначии сандары деп аталады.[6]

1 кесте

Есеп шарты бойынша I - VII айдағы қояндардың өсуі

Ай		Жұптар саны
I	● ↓	1
II	● ↓	1
III	○→→→→→→→→→→ ● ↓ ↓	2
IV	○→→→→→→● ● ↓ ↓	3
V	○→→→● ● ○→→→ ● ↓ ↓ ↓ ↓ ↓	5
VI	○→→● ● ○→→ ● ○→→● ● ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓	8
VII	○→● ● ○→● ○→● ● ○→● ● ○→●	13

2 Кесте

Есеп шарты бойынша VIII – XII айдағы қояндардың өсуі

Ай	Қояндардың жұбы
VIII	13+8=21
IX	21+13=34
X	34+21=55
XI	55+34=89
XII	89+55=144

Фибоначчи сандары сан тізбегіне мысал бола алады.

Ертедегі халықтардың да сандардың әртүрлі қасиеттері жайлы түсініктері болған. Біздің жыл санауымызда бұрынғы вавилондықтардың кестелік жазбаларында, египедтіктердің папирустық жазбаларындағыдай арифметикалық және геометриялық прогрессиялар мысалдары кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген. Архимед фигуралардың аудандары мен денелердің көлемдерін есептеуде сан тізбегінің бірнеше мүшелерінің қосындысын таба білген. Сандық тізбектер тақырыбын оқығанда осы тарихи мәліметтерге тоқталудың маңызы зор. Ол оқушылардың материалға деген қызығушылығын арттыратыны сөзсіз.

Қолданылған әдебиеттер:

1 Назарбаев Н.Ә. Қазақстан-2030. Процветание, безопасность и улучение благосостояния всех казахстанцев. Алматы, Білім, 1997.

2 Глейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы: IV-VI сыныптар. Мұғалімдерге арналған құрал. – Алматы: Мектеп, 1985.

3 Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.. Теляковский С.А. редакциясындағы Алгебра: Орта мектептің 9 сыныбына арналған оқулық.– Алматы: Рауан, 1991-304бет.

4 Шыныбеков Ә.Н. «Алгебра»: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналаған оқулық- Алматы: Атамұра , 2005.-288 б.

5 Ә.С. Кенеш. Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері. Оқу құралы.- Алматы, Ы.Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының Республикалық баспа кабинеті, 1999ж., 104 бет.

6 Жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, және т.б., - Алматы: Дрофа - «Кітап баспасы». 2004 – 368 бет.