Докукова Н.А., Кафтайкина Е.Н., Конон Н.П.

Белорусский государственный университет

О СИНХРОННЫХ КОЛЕБАНИЯХ МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В научной литературе синхронизацией [1, 2] называют подстройку ритмов автоколебательных систем за счет слабого взаимодействия между ними. Объяснение этого процесса влияния связи оказалось очень непростым и в настоящее время не завершено. В этом явлении не совсем ясны механизмы проявления тех или иных особенностей взаимовлияния колебаний осциллирующих систем, иногда имеющих различную природу, например, в часах, лазерах, электронных генераторах, биологических материях.

В работе представлена общая линейная динамическая модель на рисунке 1 колебаний произвольного числа одинаковых элементов n - автономных осцилляторов, имеющих общую связь, записаны уравнения движения (1), исследованы особенности и закономерности в представленных математических моделях (1)-(6), изучено поведение объектов при соответствующем изменении параметров и начальных условий (10), (11), получены точные аналитические формулы (5), (6) и в таблице 1 колебательных режимов всех тел, по методике, развитой авторами в [3, 5], проведены численно-аналитические расчеты. Результаты сопоставлены с экспериментальными данными, широко известными в литературе [1, 2].

Рисунок 1 - Схема колебаний n - осцилляторов на закрепленной балке

Система уравнений движения механической системы на рисунке 1 в матричной форме примет вид:

, (1)

с начальными условиями

, , (2)

, _. (3)

Здесь , − дифференциальные операторы по параметру времени t ; c_ij – коэффициенты упругих элементов c_j-1, отнесенных к соответствующим массам m_i-1 , ; , b – коэффициент вязкого сопротивления колебаниям балки; – вектор искомых перемещений масс на рисунке 1; – вектор виброускорений нагрузочного режима, а₁ = /m₁ , а_n = /m_n ; и – гармонические силы, являющиеся внешними и приложены к первому и последнему автономным осцилляторам; и – силы линейного трения и упругого «винклеровского» основания в опорах балки . Общая сила - консервативная, сила линейного трения в балке, неконсервативная сила вязкого сопротивления колебаниям - .

Характеристическое уравнение примет вид

, (4)

если парциальные частоты всех n - линейных осцилляторов одинаковы . Для простоты положим b = 0 . Тогда решения многоэлементной задачи приводятся к следующим колебательным режимам

(5)

где l₁=w₁,,. Неопределенные коэффициенты соответствующих решений находятся по методике, развитой в [3], аналитические формулы для которых сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Номер группы коэффициентов	Коэффициенты перемещения балки x(t)	Коэффициенты перемещений автономных осцилляторов xj(t),
1	2	3
1
2
3
4
5
	U2 = 0
6	W1 = 0

Если положить n = 2 , с₁₂ = с₁₃ , a₁ = a₂ = b = k = 0 и выбрать в качестве начальных условий следующие: a₁ = g , a₂ = d , то получаются аналитические формулы решений, полностью совпадающие с перемещениями в [5].

В качестве примера рассмотрим механизм с произвольными физическими параметрами: n = 4, M = 15.0 кг, m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = 1.0 кг, c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = 55.0 н/м, k = 20.0 н/м, a₁ = -0.02 м, a₂ = 0.09 м, a₃ = -0.07 м, a₄ = 0.05 м,
g₁ = 5pрад/с, g_N = 16.6p рад/с, F₁ = 3.2 н, F_N = 11.5 н, a₁ = F₁/m₁= 3.2 м/с²,
a_N=F_N/m_N=11.5 м/с², w =4.0 рад/с, w₁ = 7.416 рад/с, l₁= 7.416 рад/с, l₂ = 8.364 рад/с, l₃ = 1.024 рад/с, z₁ = z_N = 3.67 (рад/с)². Перемещения представлены на графиках рисунка 2 и на основании формул (5), (6) и таблицы 1 примут вид:

x(t) = 0.0106 sin(1.02t)+0.00289 cos(1.02t)-0.00181 sin(8.36t)-0.00289cos(8.36t)+
+0.00027 sin(15.7t)+0.00000585 cos(52.2t), (10)

x₁(t) = 0.0108 sin(1.02t)+0.00294 cos(1.02t)+0.0265 sin(7.42t)-0.0336 cos(7.42t)+
+0.00665 sin(8.36t)+0.0106 cos(8.36t)-0.0168 sin(15.7t)-0.000000121 cos(52.2t),

x₂(t) = 0.0108 sin(1.02t)+0.00294 cos(1.02t)-0.00884 sin(7.42t)+0.0764 cos(7.42t)+
+0.00665 sin(8.36t)+0.0106 cos(8.36t)-0.0000775 sin(15.7t)-0.000000121 cos(52.2t),

x₃(t) = 0.0108 sin(1.02t)+0.00294 cos(1.02t)-0.00884 sin(7.42t)-0.0836 cos(7.42t)+
+0.00665 sin(8.36t)+0.0106 cos(8.36t)-0.0000775 sin(15.7t)-0.000000121 cos(52.2t),

x₄(t) = 0.0108 sin(1.02t)+0.00294 cos(1.02t)-0.00884 sin(7.42t)+0.0407 cos(7.42t)+
+0.00665 sin(8.36t)+0.0106 cos(8.36t)-0.0000775 sin(15.7t)-0.00432 cos(52.2t).

На рисунке 2 е наблюдается некоторое рассогласование по фазам колебаний гармонических осцилляторов и явное отличие по амплитудам. Более синхронизированной данная система станет, если в формулах таблицы 1 положить все начальные условия a_j, j = одинаковыми. Например, a_j = 0.0015 м, j = , n=4, M=20.0 кг, m₁=m₂=m₃=m₄= 2.0 кг, c₁=c₂=c₃=c₄= 55.0 н/м, k= 100.0 н/м,
g₁= 5p рад/с, g_N = 16.6p рад/с, F₁= 3.2 н, F_N = 11.5 н, a₁=F₁/m₁= 1.6 м/с²,
a_N =F_N/m_N = 5.75 м/с², w= 4.0 рад/с, w₁= 5.244 рад/с, l₁= 5.244 рад/с,
l₂= 6.33 рад/с, l₃= 1.852 рад/с, z₁=z_N = 2.75 (рад/с)².

а) б)

в) г)

д) е)

Рисунок 2 - Перемещения x(t) на а, x_j(t) , j = на б, в, г, д, все вместе на е, для динамической системы, состоящей из n = 4 одинаковых осцилляторов, обладающих разными начальными условиями

На основании формул (2), (3), (5), (6), таблицы 1 и представленных расчетов можно сделать вывод о том, что синхронными будут колебания внутренних элементов механической системы с одинаковыми отклонениями масс m _j в начальный момент времени a_j = a₀, j = . Это очевидно проиллюстрировано на графиках рисунка 3в,г. На последнем графике 3 е два колебательных режима x₂(t) и x₃(t) полностью совпали в соответствии с полученными формулами:

x(t) = 0.00419 sin(1.85t)+0.000609 cos(1.85t)-0.00144 sin(6.33t)-
-0.000611 cos(6.33t)+0.0000875 sin(15.7t)+0.00000217 cos(52.2t), (11)

x₁(t) = 0.00478 sin(1.85t)+0.000696 cos(1.85t)+0.0164 sin(5.24t)-0.000534 cos(5.24t)+
+0.00316 sin(6.33t)+0.00134 cos(6.33t)-0.00731 sin(15.7t)-0.0000000222 cos(52.2t),

x₂(t)=0.00478sin(1.85t)+0.000696cos(1.85t)-0.00547sin(5.24t)-0.000534 cos(5.24t)+

+0.00316sin(6.33t)+0.00134cos(6.33t)-0.0000110sin(15.7t)-0.0000000222cos(52.2t),

x₃(t) = 0.00478sin(1.85t)+0.000696cos(1.85t)-0.00547sin(5.24t)-0.000534 cos(5.24t)+
+0.00316sin(6.33t)+0.00134cos(6.33t)-0.0000110sin(15.7t)-0.0000000222cos(52.2t),

x₄(t) = 0.00478 sin(1.85t)+0.000696 cos(1.85t)-0.00547 sin(5.24t)+0.00160cos(5.24t)+
+0.00316 sin(6.33t)+0.00134cos(6.33t)-0.0000110sin(15.7t)-0.00214cos(52.2t).

а) б)

в) г)

д) е)

Рисунок 3 - Перемещения x(t) на а, x_j(t) , j = на б, в, г, д, все вместе на е, для динамической системы, состоящей из n = 4 одинаковых осцилляторов, обладающих одинаковыми начальными условиями

Справедливость формул, представленных в таблице, соответствующих решениям динамической задачи (1)-(3) по схеме на рисунке 1, читатель может самостоятельно проверить численным способом с помощью реализаций в современных программных средах.

Выводы. На основе развитой авторами методики [3-5] решения динамических задач многоэлементных механических систем со специальными нагрузочными режимами получены аналитические формулы колебаний произвольного числа n линейных осцилляторов на общей жесткой связи, сведенные в таблицу 1. Они позволяют легко управлять свойствами синхронизируемых явлений, наперед определять и задавать его характеристики, устанавливать зависимости между параметрами, обеспечивающими «синфазную» однонаправленную синхронизацию, противофазную или иные виды динамических взаимосвязей между телами. Вынужденные колебания крайних элементов с массами m₁ и m_n, энергетически поддерживаемые внешними воздействиями, существенно влияют на изменения синхронности отклонений масс m _j , j = . При этом синхронными будут колебания внутренних элементов механической многоэлементной системы с одинаковыми отклонениями масс m _j в начальный момент времени a_j = a₀, j = . Отсутствие вынужденных нагрузочных режимов приводит к полному согласованию перемещений или синхронизации, если колебания с собственными частотами для всей механической системы в целом поддерживаются какими-либо внутренними автоколебаниями.

Литература

1. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. — М.: Наука, 1981. — 352 с.

2. Пиковский A.C. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление / A.C. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Курте. — М.: Техносфера, 2003. - 494 с.

3. Dokukova N. A. and Konon P. N. General laws governing in mechanical vibratory systems// Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2006, Volume 79, Number 4, Pages 824-831, Publisher Springer New York, ISSN: 1062-0125.

4. Dokukova N. A., Martynenko M. D. and Kaftaikina E. N. Nonlinear vibrations of hydraulic shock absorbers// Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2008, Volume 81, Number 6, Pages 1197-1200, Publisher Springer New York, ISSN: 1062-0125.

5. Dokukova N.A., Kaftaikina E.N.: The synchronization of two linear oscillators. Perspektywiczne opracowania sa nauka i technikami - 2012: Materialy VII miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji. Przemysl, Polska. 7-15 listopada 2012 r. Przemysl: Nauka i studia, Vol. 18, pp. 28 – 35, 2012.