К.т.н. Зернов В.В., д.т.н. Шеин А.И.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

УДК 624.04

Оценка устойчивости неконсервативных стержневых систем методом сеточной аппроксимации элементов в динамической постановке

Аннотация

Статья посвящена решению задачи нахождения критической нагрузки неконсервативных стержневых систем методом сеточной аппроксимации элементов в динамической постановке

Ключевые слова: метод сеточной аппроксимации элементов, устойчивость, критическая нагрузка

 

В задах сейсмики сооружений [1,2,3,4,5], ветровых колебаний [6,7], или в физически нелинейных задачах при учете истории нагружения  [8, 9,10] необходимо отслеживать состояние системы с оценкой устойчивости.

Строительные конструкции из железобетона или из стали, работающей в упруго-пластической стадии, являются нелинейными и неконсервативными механическими системами. Нагрузки на эти конструкции  часто не описываются однопараметрическим способом. Поэтому бифуркационная модель исследования устойчивости не всегда может с достаточной точностью оценивать характер равновесия таких механических систем. Наиболее точно произвести оценку состояния и устойчивости здесь позволяет  динамический подход, в том случае если с удовлетворительной полнотой воспроизвести инерционные и демпфирующие свойства системы.

Для оценки устойчивости указанных сооружений целесообразно исследовать их отклики на приращение векторов кинематических параметров  данного равновесного состояния элементов. Предпочтение кинематического возмущения перед силовым обусловливается двумя основными причинами: во-первых, природа потери устойчивости второго рода  связана с развитием ранее достигнутых деформаций; во-вторых, перебрать все возможные направления силовых возмущений  практически нельзя из-за их многообразия. Для ответа на вопрос: «Устойчива ли данная система по отношению к кинематическому возмущению?» - необходимо выполнить следующие операции:

1)                              дать кинематическое возмущение (приращения к перемещениям) данному равновесному состоянию;

2)                              исследовать движение системы в течение определённого промежутка времени. Этот промежуток времени является периодом предельно низкой допустимой частоты колебаний данной механической системы;

     Если система, в течение указанного времени, совершила колебательное движение – она устойчива. В противном случае система неустойчива.

Другими словами здесь оценивается наличие и достаточность обобщённой восстанавливающей силы (для непередемпфированных систем).  

 Данное исследование удобно строится на основе метода сеточной аппроксимации элементов в динамической постановке.

Пусть заданное исходное состояние элемента конструкции описывается векторной функцией:  

                          ,                                                                                                  (1)          

       где                 

                                                                       (2)

n – мерные вектора продольного и двух поперечных перемещений точек продольной оси и угла поворота сечения стержня вокруг этой оси.             

Если не выделять приоритетно какие-либо перемещения, то возмущённая векторная функция (1) может быть записана в виде:

                                   ,                                                                     (3)

где k – коэффициент (модуль) возмущения, k>1.

При назначении коэффициента возмущения нет определённых критериев, однако, при исследовании устойчивости данного положения равновесия целесообразно брать его достаточно близким к единице.

При использовании гипотезы плоских сечений продольные деформации в точках сечения элемента в данном равновесном состоянии определяются зависимостью:

                           ,                                                     (4)

представленной в конечно-разностном виде, а деформации возмущённого состояния  равенством             

                                                .                                                           (5)

В динамическом расчёте кинематически возмущённое состояние является начальным условием движения.

         Уравнения движения элемента системы из возмущённого состояния имеют вид:

                                                                                 (6)

        Для решения задачи используются или двойная конечно-разностная аппроксимация функций перемещений и их производных по геометрической и временной координатам, или метод линейного ускорения. Таким способом делается переход от интегро-дифференциальных уравнений к интегральным. При помощи дополнительных сеток, наложенных на поперечные сечения и боковые грани участка стержня, задача сводится к решению алгебраической системы уравнений.

         В начальный момент времени

                                        ,                                                       (7)

                                        ,                                                             (8)

                                                                                                         (9)          

Производя движение по временной координате от  до , определяем характер движения. Характер движения из возмущённого положения даёт возможность классифицировать исходное состояние равновесия с точки зрения его устойчивости.

Литература

1.                 Шеин А.И. Метод сеточной аппроксимации элементов в задачах строительной механики нелинейных стержневых систем // М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. агентство по образованию, Пенз. гос. ун-т арх. и стр-ва. - Пенза, - 2005. - 248 стр.

2.                 Шеин, А.И. Решение многопараметрической задачи динамики стержневых систем методом сеточной аппроксимации элементов //Промышленное и гражданское строительство. - 2002. - № 2. - С.- 27.

3.                 Шеин, А.И. Оценка эффективности активного жидкостного гасителя колебаний высотных сооружений при нестационарных воздействиях/ А.И. Шеин, Д.А. Шмелев // Строительная механика и расчет сооружений. - 2014. - №1(252). - С. 59-63.

4.                 Шеин, А.И. Гашение колебаний высотных сооружений в 3 ч. / А. И. Шеин [и др.] // М-во образования и науки Российской Федерации, Гос. образовательное учреждение высш. проф. образования "Пензенский гос. ун-т архитектуры и стр-ва".-  Пенза, - 2011

5.                 Шеин, А.И. Метод смещенных разностей для решения систем дифференциальных уравнений движения механических систем / А.И. Шеин, М.Б. Зайцев // Строительная механика и расчет сооружений. - 2012.- №2. -  С. 38-41.

6.                 Шеин, А.И. Схемы и теория гасителей пространственных колебаний сооружений / А.И. Шеин, О.Г. Земцова//  Региональная архитектура и строительство. -2010. - №1. -  С. 45-52.

7.                 Шеин, А.И. Снижение уровня колебаний системы “упругое основание – высотное сооружение” с помощью нелинейного динамического гасителя / А.И. Шеин, О.Г. Земцова //. Региональная архитектура и строительство.- 2011.- № 2.- С. 83-90.

8.                 Завьялова, О.Б. Применение условного сдвиго-изгибного стержня при расчете рам на устойчивость / О.Б. Завьялова, А.И. Шеин .//Известия высших учебных заведений. Строительство. -2010.- №1.  С. 99-105.

9.                 Шеин, А.И. Влияние физической нелинейности бетона на напряженно-деформированное состояние элементов монолитных железобетонных рам, рассчитываемых с учетом истории нагружения / А. И. Шеин, О.Б. Завьялова// Промышленное и гражданское строительство. - 2012.- №8.- С. 29-31.

10.             Шеин, А.И. Расчет монолитных железобетонных каркасов с учетом последовательности возведения, физической нелинейности и ползучести бетона/ А. И. Шеин, О.Б. Завьялова // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 5. С. 64-69.