Турметов Б.Х., Муратбекова М.А.

О разрешимости одной краевой задачи для уравения Пуассона.

В настоящей работе исследуются вопросы разрешимости одной краевой задачи для уравнения Пуассона с граничным оператором высокого порядка.

Пусть  - единичный шар в ,  ,  

единичная сфера. Пусть  достаточно гладкая функция в области , -натуральное число и  - любые положительные числа.

Введем обозначения

, 

Отметим, что операторы  в классе гармонических функций изучены в

работе [1]. Исследуем некоторые свойства операторов .

Лемма1: Если , то справедливо равенство

                                                   (1)

где  - оператор Лапласа,

Доказательство. Доказательство формулы (1) проведем методом

индукции по .

       Непосредственным подсчетом находим, что в области

       Тогда при  имеем

.

Пусть для некоторого  справедливо равенство (1).  Тогда для  получаем

 

.

Лемма доказана.

Доказательства следующих лемм проводится аналогично как в работе [1].

Лемма 2. Пусть  натуральное число и . Тогда в области  справедливо равенство

где  .

Лемма 3. Если  , то в области  справедливо равенство

,  

 

2. Постановка и решение основной задачи.

       Задача А. Найти  удовлетворяющий условиям

       Пусть  - решение следующей задачи Дирихле для уравнения Пуассона

                                                          (2)

       Известно (см. например[2]), что если  принадлежит классу ,  то решение задачи (2) существует, принадлежит классу  и представляется в виде

                                         (3)

где  - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

       Теорема . Пусть . Тогда решение задачи А существует и представляется в виде

 

где обозначено .

Доказательство теоремы .

       Пусть  - решение задачи  1. Применим к этой функции оператор  и обозначим .

       В силу утверждение леммы 1 справедливо равенство

.

       Так как , то  Из граничного условия задачи 1 имеем

       Таким образом, функция  является решением задачи (2) с

       В силу равенства (3) решение  представляется в виде

       Применим к равенству  оператор . Тогда используя второе равенство из леммы 3 получаем  .

       Так как функция при  имеет место , то функция  существует и принадлежить классу .

       Тогда функция   удовлетворяет всем условиям задачи А.

       Теорема доказано.

Литература

1.            Баврин И.И. Операторы для гармонических функций и их приложения. Дифференциальные уравнения. 1985, т.21, №1. С. 9-15.

2.            Гильбарг Д.,Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М: Наука. 1989. – 464с.