УДК 517.532: 661.9.02

Исмаилов Б.Р., Урматова А., Манекеева Ж., Шоныкбаева Н.

Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова (г.Шымкент, Казахстан), Международный Казахско-Турецкий университет им. Х.А. Яссави (г.Туркестан, Казахстан)

 

Математическое моделирование гидродинамики в контактных устройствах массообменных аппаратов в ламинарном режиме на основе уравнений Навье-Стокса

 

Конструкции современных массообменных аппаратов, предназначенных для физической и химической обработки газов и жидкостей достигли высокой степени совершенства. При разработке методов математического моделирования потоков в их контактных устройствах используются научные достижения механики жидкостей и газа, химии и химической технологии, прикладной математики, физики новых явлений, а также современные компьютерные технологии.

Теоретические и экспериментальные работы по изучению гидродинамики и тепломассообмена в аппаратах с многоступенчатым взаимодействием фаз показали наличие общих закономерностей образования и взаимодействия вихрей при обтекании дискретно расположенных элементов или контактных устройств /1/. В рабочей зоне таких аппаратов происходит сложное взаимодействие фаз, включающее прямоточное, противоточное, перекрестное, вихревое, пульсационное и другие виды движения потоков даже в пределах одной контактной ступени.

Форма и расположение конструктивных элементов контактных устройств определяют структуру двухфазного потока, характер и интенсивность воздействия вихрей на жидкость (в виде плёнок, струек и  капель), поверхность межфазного контакта, диссипацию энергии, и, следовательно, эффективность процессов тепло- и массообмена. Однако, в проведённых исследованиях каждой  конструкции превалируют экспериментальные или упрощённые эмпирические подходы, которые не позволяют находить скорость, завихренность, кинетическую энергию, масштаб турбулентных пульсаций и массообменные характеристики по всей зоне контактирования фаз. Недостаточно количество теоретических исследований по описанию процесса контактирования газа и жидкости в совокупности с задачами гидродинамики, теплообмена и массообмена.

Одним из основных методов моделирования динамики потоков в контактных устройствах является прямое применение уравнений Навье-Стокса /2/. Решение этих уравнений с приемлемой точностью позволяет получить распределение основного параметра, во многом определяющего гидродинамическую обстановку в аппарате - компоненту скорости. При этом аналитическое, приближенно-аналитическое или численное решение возможно с учетом геометрии контактного устройства, режима течения и других исходных данных. Следует отметить, что в последние годы появились достаточно эффективные численные методы, применимость которых для широкого класса задач показана на примере решения разнообразных важных и сложных задач теоретических основ химических технологий /3/.

В настоящей работе приведены результаты реализации математической модели движения газа в канале прямоугольной формы на основе применения уравнений Навье-Стокса и подхода /2/.

Основные уравнения. Плоское течение несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости с постоянными свойствами при отсутствии внешних сил моделируется двумя уравнениями сохранения количества движения и одним уравнением неразрывности:                               

                                                             (1)

              ,                                                   (2)     

             .                                                                                              (3)

 Уравнения записаны в неподвижной эйлеровой системе, относительно которой движется газ (жидкость).

       Введя функцию напряженности  вихря (в дальнейшем -завихренность) по формуле

                    ,                                                                                              (4)

получаем уравнение переноса вихря, имеющее параболический тип:

                                                                          (5)

Введем также функцию тока соотношениями

                                                                                                                                        (6)

Уравнение для   можно записать как уравнение Пуассона, имеющее эллиптический тип:

                                                                                                               (7)

Таким образом, система (1)-(3), записанная в терминах «скорость-давление» может быть записана также в терминах «функция тока - вихрь» (форма Гельмгольца):

                                                                                                             (8)

                                                                           (9)

Влияние многоступенчатости контактного устройства. В аппаратах /1/ контактные устройства имеют многоступенчатую форму, образованную периодическим расположением нескольких дискретных элементов по высоте. Значит, контактное устройство может быть представлено в виде совокупности начального и стабилизированного участков, причем длина стабилизированного участка  оказывается гораздо больше  длины начального участка (рис.1.). Длина начального участка зависит от формы входного профиля (прямоугольная, трапециевидная, параболическая и т.д.). Например, при противотоке  жидкость стекает вниз через распределительные устройства, обеспечивающие достаточную равномерность и существует определенное расстояние, после которого ее распределение можно считать установившемся.   

 

        Ось абцисс-продольное направление, ось ординат- поперечное направление к потоку,  1,2,…,n- обтекаемые элементы.

Рисунок 1

      Поток, входя в канал (сечение А-А), движется в продольном направлении, обтекая на своем пути регулярно расположенные элементы контактной зоны  1,2,…n . С течением достаточного большого времени Т, за которое поток, развиваясь в своем течении, обтекает несколько элементов, все гидродинамические характеристики установятся. На участке А-С динамические, и соответственно - массообменные характеристики меняются быстро, причем длина стабилизированного участка С-В гораздо больше, чем А-С. В данном случае можно говорить об установлении по скорости и завихренности начиная с элемента  i  с некоторой точностью . В этом случае основными уравнениями математической модели являются уравнения Навье-Стокса с соответствующими граничными и начальными условиями, а также с условиями сопряжения:     

                 ,                                   (10)

где  - коэффициент уменьшения, зависящий от разброса общего расхода газа;

- кривая, которую можно считать линией симметрии между двумя рядами потоков, обтекающих 2 ряда элементов насадок; - функция, в общем случае получаемая трехточечной аппроксимацией граничного условия  для функции завихренности.

      При обтекании первой и последней гирлянды влияние твердых стенок канала моделируем условиями прилипания  а для вихря  воспользуемся условием непротекания газа на границе канала или разделяющей линии

                                                                                                           (11)

Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса. Для несжимаемой жидкости имеются точные решения для установившихся течений: в плоском канале при заданном постоянном перепаде давления (течение Пуазейля); между двумя параллельными плоскими стенками, одна из которых покоится, а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью (течение Куэтта); в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением при постоянном перепаде давления (течение Хагена- Пуазейля). Также получены приближенные аналитические решения, основанные на упрощающих предположениях. Здесь следует отметить решения при очень малых числах Рейнольдса,  соответствующие так называемым ползущим движениям. Для решения задач динамики вязких жидкостей и газов в каналах массообменных аппаратов при умеренных числах Рейнольдса, соответствующих ламинарному движению, разработаны эффективные алгоритмы, основанные на использовании разностных схем. Для задачи течений жидкостей в областях простой формы (или около тел простой формы) нами использован разностный метод для уравнений в форме (7-8), хотя для этой системы и имеются трудности, связанные с определением граничных условий для завихренности.

Условия устойчивости.     Применим метод гармонических возмущений Фурье для исследования устойчивости  схемы установления для уравнения функции тока /4/. Из теории дифференциальных уравнений известно, что частные решения имеют следующий вид:

                            .                                     (12)

Сеточным аналогом решений вида  (12) являются числа, образованные по формуле:        ,                                      (13)

где    - постоянные  числа, m,k,n-индексы сеточных узлов, шаги разностной сетки. Ограниченность возмущений вида (13)  при бесконечном убывании шагов сетки является необходимым условием устойчивости разностной схемы.  Допустим, что Re<1, тогда значения , характеризующие завихренность потока  в рассматриваемой области течения также малы. Согласно методу Пасконова /4/ получим, что разностная схема

                    (14)

устойчива, если  где . По аналогии с одномерным случаем, положим =0 и рассмотрим возмущение специального вида:                            ,                              (15)

         где - вещественные произвольные числа. Подставляя (15) в (16), получим:

 

Сокращая на , получим соотношение:

                                                                         (18)   

 Условие Неймана для устойчивости гармонических возмущений при

                                                                                                      (19)   

 дает неравенство                                                                                (20)            

На рис.2. показано распределение продольной составляющей скорости в канале, полученное реализацией модели (8-9) при числах Рейнольдса 10-500. Видно, что при обтекании треугольной платины у острых симметричных углов возникают максимальные скорости из-за сгущения линий тока, в центре канала-застойные зоны, с обратными течениями. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса к расходимости, схемы, связанное с нарушением условия (20).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Рис.2. Распределение продольной составляющей скорости при обтекании треугольной платины в прямом горизонтальном канале, стабилизированный участок, y-расстояние от нижней стенки, u- продольная составляющая скорости,  Re  =200.

Литература

1.      1. Балабеков О.С. Гидродинамика, массообмен и пылеулавливание при    противоточных и прямоточных двухфазных капельных и пленочных течениях в слое подвижной насадки: Автореф. дис. докт. –М., 1985.-40с.

2.      Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.-М.: Наука,1984.-284с.

3.       Дзюбенко Б.В., Кузма-Китча Ю.А., Леонтьев А.И., Федик И.И., Холпанов Л.П. Интенсификация тепло-и массообмена на макро-, микро-и наномасштабах. М.:ФГУП «ЦНИИАТОМИНФОРМ», 2008. -530с.