к.ф.-м.н. А.И. Долгарев

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ КОМПАКТНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Рассматриваются числовые модули и линейные пространства. Среди них имеется уникальное, это компактное пространство – мультипликативное линейное пространство комплексных чисел модуля 1 над полем действительных чисел. Указаны линейные пространства на одной группе над различными полями.

1. Числовые модули и пространства

1.1. Числовые структуры

Пусть множество чисел. На числах определены операции сложения и умножения, возведения в степень. Сложение и умножение коммутативны, ассоциативны и связаны свойством дистрибутивности. Множество может не содержать нуля 0, в этом случае оно обозначается символом , если оно состоит только из положительных чисел, то используется символ . Обозначения: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел, множество комплексных чисел. Вместе с внутренними операциями сложения и умножения , используются внешние операции, связанные с ними: операция умножения чисел из на числа из кольца , связанная со сложением; операция возведения в степень чисел из , связанная с умножением, показатели степени есть числа из кольца .

Имеется аддитивная полугруппа и мультипликативный моноид , т.к. ; аддитивные группы: , , , ; мультипликативный моноид , мультипликативные группы , , , , числовое кольцо , числовые поля: , , .

Поле комплексных чисел есть расширение поля действительных чисел мнимой единицей : . Имеется кольцо Гауссовых целых чисел , это кольцо чисел вида , где ; имеется поле рациональных комплексных чисел , оно состоит из чисел , где .

1.2. Числовые модули

Напомним аксиомы модуля . На аддитивной абелевой группе определена операция умножения чисел из на числа из , связанная с операцией сложения . Для всех и всех выполняются следующие условия, называемые аксиомами модуля .

(m.1) ; (m.2) =;

(m.3) в содержится 0: для всех ;

(m.4) для всякого числа , содержащегося в , в существует противоположное число , ;

(m.5) =;

(m.6) ; (m.7) , , , (если унитарно);

(m.8) ; (m.9) ; (m.10) .

Перечисленными аксиомами определен аддитивный модуль = . В случае мультипликативного модуля = , унитарно, его аксиомы имеют следующий вид.

(М.1) ;

(М.2) ;

(М.3) в содержится 1, ;

(М.4) для числа в содержится обратное число , ;

(М.5) ;

(М.6) ;

(М.7) ;

(М.8) ;

(М.9) ;

(М.10) .

Аддитивными модулями являются , , , , , .

Пусть , . Если и , то . Если и , то . Аксиомы (М.6) – (М.10) возведения рациональных чисел в целую степень выполняются. Мультипликативными модулями являются , , , . Если , то и . Имеется модуль . Если , то число можно представить в виде . При , , число рациональное, число рациональное комплексное. Поэтому существует модуль . Кроме того, имеются модули: , , .

1.3. Рациональные и действительные линейные пространства

Существуют аддитивные линейные пространства над полем рациональных чисел и над полем действительных чисел: , , , , , .

Положительное действительное число записывается как экспонента

.

Определены операции

.

Аксиомы (М.1) – (М.10) выполняются. Существует мультипликативное действительное пространство , внешняя операция на этом пространстве есть возведение положительных действительных чисел в действительную степень: .

1.4. Аддитивные комплексные линейные пространства

Рациональное комплексное число есть число вида и произведение рациональных чисел является числом рациональным. Имеется аддитивное линейное пространство над полем : . Кроме того, существует , .

2. Мультипликативные пространства над полем действительных чисел

2.1. Действительное мультипликативное линейное пространство

комплексных чисел

Всякое комплексное число , отличное от нуля, обладает тригонометрической формой записи

,

где , , , действительное число принадлежит числовому полуинтервалу . Любое действительное число представляет собой сумму

; (1)

выполняются равенства

.

Произведение числа и числа есть число

,

т.е. при перемножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей сомножителей: , аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей: . Число , сопряженное к , равно , число, обратное числу , есть . Имеем мультипликативную группу .

При извлечении корня ой степени из числа аргумент числа вычисляется по формуле

, . (2)

Введем новую операцию над комплексными числами, положив

, . (3)

Здесь есть действительная степень действительного числа, она определена однозначно. Так как , то существует , что . Значит, . Операция (3) в случае не совпадает с операцией извлечения корня степени из комплексных чисел, которая значна и которая может рассматриваться как возведение числа в степень . Ниже, теорема 7, установлено, что все корни ей степени из 1, , содержатся в линейном пространстве над корней 1. Операция (3) альтернативна операции извлечения корня ой степени. Согласно (1), из действительного числа может быть выделено слагаемое, принадлежащее интервалу . Операция (3) однозначна.

1. Теорема. Комплексные числа, отличные от нуля, составляют муль-

типликативное линейное пространство над полем действительных чисел: .

# Имеем группу , т.е. аксиомы (М.1) – (М.5) для чисел из выполняются. По определению (3), . , аксиома (М.7) выполняется. По (3),

.

Произведение чисел равно

= .

Действительные степени обладают свойством . Ввиду дистрибутивности умножения действительных чисел относительно сложения, справедливо равенство . В результате выделения слагаемых , см. (1), из рассматриваемых чисел получаем слева и справа одно число из . Аксиома (М.8) выполняется в . Далее, по определению (3), имеем с одной стороны . И = = . По свойствам действительных чисел: и . Аксиома (М.9) выполняется в . Наконец, с одной стороны, = , с другой стороны, и , . Выполняется в и аксиома (М.10).#

2. Теорема. Множеству чисел

,

где , , , соответствует множество точек , составляющее логарифмическую спираль

, ,

или в полярных координатах: . (Для сравнения [1, c. 246]).

# Выполнив указанные операции над данными комплексными числами, получаем выписанные параметрические уравнения рассматриваемого множества точек. Модуль чисел равен , их аргументы есть . Используя и исключая параметр , приходим к уравнению линии в полярных координатах. Точки составляют логарифмическую спираль.

Если , то и , тогда и , .#

В случае имеем окружность ; при имеем луч .

2.2. Действительное линейное пространство

комплексных чисел модуля 1

В мультипликативной группе выделяется подгруппа комплексных чисел модуля 1. Теоремы п. 2.1 приобретают специфический вид. Числа модуля 1 записываются в виде

.

Если еще одно число модуля 1, то их произведение есть и множество всех комплексных чисел модуля 1 является мультипликативной группой . Согласно (3),

, .

3. Теорема. есть мультипликативное линейное прост-

ранство над полем действительных чисел.

# Это частный случай теоремы 1. #

4. Теорема. Мультипликативное линейное пространство = = компактно.

# Группа изоморфна группе поворотов плоскости вокруг фиксированного центра ; действительно, комплексное число соответствует повороту плоскости вокруг начала координат на угол . Числу соответствует кратный поворот на угол , , т.е. числам из соответствуют всевозможные повороты плоскости вокруг центра . Поворот на угол есть кратный поворот на угол , т.к. во множестве действительных чисел уравнение однозначно разрешимо. По Э. Картану «На плоскости группа вращений вокруг неподвижной точки компактна,» [2, c. 152]. Это означает, что мультипликативное линейное пространство компактно. #

Введение внешней операции на группе не изменяет множество, являющееся носителем этой группы: носитель группы и носитель линейного пространства на группе один и тот же. Компактность группы Ли означает компактность линейного пространства над , определенного на группе .

Установленная теорема 4 формулируется также в виде

5. Теорема. Мультипликативное линейное пространство над полем вращений плоскости вокруг неподвижной точки является компактным.

# Мультипликативное линейное пространство изоморфно аддитивному линейному пространству вращений плоскости вокруг неподвижной точки, которое компактно. #

2.3. Пространство и пространство корней из 1

6. Теорема. Мультипликативное линейное пространство является 1-порожденным.

# Группа порождается любым своим неединичным элементом , см. доказательство теоремы 4. #

7. Теорема. Для всякого натурального и всякого комплексного числа все значения содержатся в .

# Пусть , т.е. . Аргументы чисел , как известно, есть (2). Т.к. , то при аргумент числа равен , остальные значения корня есть числа .

Пусть . По (2), . Значения являются комплексными числами

, .

Аргументы этих чисел, согласно операциям на множестве , равны

.

Все числа содержатся в . #

Доказанная выше теорема 6 может быть сформулирована в виде

8. Теорема. Мультипликативное линейное пространство содержит линейное пространство над всевозможных корней из единицы .

# Вместе с корнями рассматриваются и их степени , , , указанные показатели степеней чисел составляют поле рациональных чисел. Величина угла поворота может быть иррациональной, но рассматриваются рациональные кратные поворотов. Таким образом, имеется линейное пространство . #

Пространство не является подпространством линейного пространства над полем ; у этих линейных пространств общий носитель , но различны поля, над которыми определены пространства. В пп. 1.3 и 1.4 указаны аддитивные линейные пространства на группах и каждое над различными полями и .

9. Теорема. Линейное пространство над поворотов плоскости компактно.

# Компактность группы означает и компактность линейного пространства над полем , определенного на группе . #

2.4. Неизоморфизм действительных 1-мерных пространств

В п. 2.2. получено 1-мерное компактное линейное пространство над полем действительных чисел. Существует действительное линейное пространство параллельных переносов вдоль фиксированной прямой, оно 1-мерно. Справедлива

10. Теорема. Существуют неизоморфные 1-мерные линейные пространства над полем действительных чисел.

# Пространство компактно, теорема 9; пространство параллельных переносов вдоль действительной оси некомпактно. Указанные пространства неизоморфны. #

Этот факт для групп Ли отмечает Э. Картан, [2, c. 152]: «На плоскости группа вращений вокруг неподвижной точки компактна, а группа параллельных сдвигов вдоль фиксированной прямой некомпактна».

Список литературы

1. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.

2. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. – М.: ИЛ – 1949. – 386 с.