К. т. н. Лисин С.К.

СПб НМСУ «Горный», Россия

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

ФУНКЦИЙ СИГНАЛОВ

Отличительной особенностью современных методов и средств измерений различных процессов является объективная необходимость передачи, воспроизведения и тарирования сигналов. Сигнал - физическая величина, несущая информацию во времени. Параметры и вид сигнала в процессе преобразования в измерительном устройстве изменяются, однако передаваемая информация претерпевает минимальное искажение. Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т сигнала. Число периодов в единицу времени называется частотой f колебаний. Период и частота связаны соотношением Т = 1/ f. Процесс передачи сигналов, характеризуется значениями сигналов и передаточными свойствами средств преобразования. Функциональные свойства преобразователей должны соответствовать свойствам измеряемого сигнала. К наиболее распространенным типам сигналов относятся: синусоидальный, пилообразный, треугольный, стохастический, а также последовательности однополярных и двуполярных импульсов.

Функции сигналов, заданные таблично или неявно не имеют аналитической зависимости вида y = F(x). При табличном задании функции некоторому значению x_i из интервала определения ставится в соответствие определенное числовое значение функции y_i. Таблично могут быть заданы экспериментальные данные опыта. Для экспериментальных данных чаще всего неизвестна явная аналитическая связь. Точки функции, в которых строго определены её числовые значения, называются узловыми.

При исследовании сигналов возникает необходимость определения значений функций в любых точках, представляющих интерес для исследователя. Способ вычисления значений функции в промежутках между узлами называется интерполяцией, а за пределами узловых точек рассматриваемой зависимости – экстраполяцией или прогнозированием.

Воспроизведение физических данных выполняется, как правило, с определенной погрешностью или с определенным уровнем шумов, которые по своим значениям могут быть выше погрешности подлежащих интерполированию сигналов. Поэтому не целесообразно осуществлять проектирование систем обработки и анализа сигналов по точным зависимостям в случаях, когда повышение точности расчетов не приводит к повышению точности исследуемых сигналов. В подобных случаях оптимальной и эффективной является задача установления процедур интерполяции. Представление сложных функций F(x) удобными для практического использования функциями аппроксимации f(x) таким образом, чтобы отклонения f(x) от F(x) в области ее задания были наименьшими по выбранному способу приближения – есть задача интерполяции.

Математические методы аппроксимации, регрессии, интерполяции и экстраполяции функций имеют многовековую историю. Рассмотрим способ приближения сигналов рядами Тейлора.

Для приближения функций сигналов в окрестности некоторой точки a используем широко известное разложение в ряд Тейлора.

Формальный ряд

называется рядом Тейлора в точке a. Здесь через k обозначается производная текущего члена разложения под знаком рассматриваемой суммы ряда. Если разложение функции осуществляется в окрестности точки a = 0, то ряд называется рядом Маклорена.

Первый член ряда f(a₀) представляет собой отсчет функции в точке a₀ и приближение значения функции в окрестности этой точки. Остальные члены ряда определяют значения функции в окрестности точки a₀ и тем точнее приближают сумму ряда к значениям функции, чем больше членов суммы участвуют в приближении. Сумма исходного ряда ограничивается областью, число членов разложения которой устанавливается с учетом условий и требований опыта. Приближение функций рядом Тейлора применяется, в основном, для непрерывных, гладких функций в интервалах их задания. Для разрывных и периодически повторяющихся функций использование данного ряда не представляется возможным.

Одним из основных типов аппроксимации функций в требуемых точках является интерполирование. В задачах полиномиальной аппроксимации интерполяционные многочлены являются моделями параметров сигналов, функции которых восстанавливаются с помощью экспериментальных данных. Сущность интерполирования заключается в том, что функции y_i = F(x_i) ставится в соответствие интерполяционный многочлен вида

f(x) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + a_nxⁿ .

Для определения значений неизвестных коэффициентов a₁ … a_n используются значения интерполяционного многочлена в узловых точках x₁ … x_m. В соответствии с методом наименьших квадратов [1] предусматривается рассмотрение невязок заданной или устанавливаемой функции в каждой узловой точке системы. Метод наименьших квадратов позволяет определить оценки значений неизвестных a₁ … a_n при которых сумма квадратов невязок является минимальной. Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений оценок неизвестных коэффициентов a_i исходной системы, содержащей m уравнений измерений [2]. В этом случае необходимо применить процедуру нахождения неизвестных коэффициентов с помощью метода наименьших квадратов.

Представляет интерес процесс восстановления функции сигнала методом аппроксимации, при котором в узловых точках находятся приближенные значения искомой функции (рис.1). Восстанавливаемая функция сигнала аппроксимирована многочленами второй, третьей и четвертой степеней в диапазоне десяти узловых точек.

Рис. 1. Полиномиальная аппроксимация

На рис. 1. видно, что наименьшие отклонения восстанавливаемых функций достигаются многочленами степени не выше третьей.

Интерполяция сигналов по Лагранжу является существенным упрощением процедуры точечного восстановления функций, не требующей предварительного определения коэффициентов полиномов. К числу таких выражений относится интерполяционный многочлен Лагранжа

Следует обратить внимание на существующее правило установления степени интерполяционного многочлена для заданной функции сигнала. При N узлах функции степень интерполяционного многочлена n = N-1, например, для трех узлов принимается полином второй степени. При большом количестве узлов необходима высокая степень многочлена.

Рис. 2. Интерполяция полиномом Лагранжа.

На рис. 2 приведены графики интерполяционных многочленов Лагранжа при 6 и 10 узлах интерполяции. На графиках интерполяционных многочленов (рис. 2) проявляется зависимость того, что при большой степени интерполяционного многочлена интерполирующая кривая может испытывать сильные изгибы между узловыми точками не соответствующие графику построения реальной кривой.

В практике технических и многих других измерений теория оценочного преобразования (восстановления), используемая для извлечения из опытов научной, технической и иной информации, является важнейшим инструментом воспроизведения моделируемых и экспериментальных зависимостей. Методы анализа, представления и отображения измерительной, спектральной и иной информации являются наиболее востребованными для приборостроения и средств измерительной техники [3-5]. В соответствии с этим является актуальной необходимость эффективного применения методов восстановления и синтеза функций различных сигналов на основе использования экспериментальных данных однократных и повторяемых опытов.

Литература:

1. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико–статистической теории обработки наблюдений/ Ю.В. Линник. - Л.: Физматгиз, 1962. – 352 с.

2. Лисин, С.К. Теория и средства измерений /С.К. Лисин, А.И. Федотов. – СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2010. – 260 с.

3.Пиотровский Я. Теория измерений для инженеров/ Я. Пиотровский.– М.: Мир, 1989. – 336 с.

4. Кемпинский, М.М. Точность и надежность измерительных приборов/ М.М. Кемпинский. – Л., 1972. – 264 c.

5. Мокеев А.В. Анализ частотных фильтров на основе спектральных представлений сигналов/ А.В. Мокеев// Научно – технические ведомости. – 2009 - № 1.- С.61-68.