Муратбекова Ильвира Абдразаковна

Казахстан, ЮКО город Туркестан № 21-колледж

Нормальный делитель. Фактор-группа.

В работе рассматривается в множестве всех смежных классов группы G по нормальному делителю Н определена операция умножения.

Пусть Н - подгруппа группы G. Левосторонним смежным классом группы G по подгруппе Н (коротко G по H) называется множество gH элементов вида gh, где g - фиксированный элемент из G, а h пробегает все элементы подгруппы Н. Элемент g называется представителем смежного класса gH.

Аналогично определяются правосторонние смежные классы Hg.

Заметим, что элемент g содержится в классе gН, так как подгруппа Н содержит единицу. Одним из смежных классов является сама подгруппа Н = Не = еН. Никакой другой смежный класс подгруппой не является.[1]

Теорема. Два любых смежных класса группы G по подгруппе Н или совпадают, или же не имеют ни одного общего элемента.

Таким образом, вся группа G распадается на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Н. Это разложение называется левосторонним разложением группы G по подгруппе Н.

Аналогично можно получить правостороннее разложение группы G по подгруппе Н. Для абелевой группы оба её разложения по любой подгруппе, левостороннее и правостороннее, будут совпадать, т. е. можно говорить просто о разложении группы по подгруппе.

В некоммутативном случае разложения группы по некоторой подгруппе могут оказаться различными. Можно утверждать, однако, что оба разложения всякой группы G по произвольной подгруппе Н состоят из равного числа смежных классов (в бесконечном случае это значит, что множества левосторонних и правосторонних смежных классов по данной подгруппе имеют одинаковую мощность).

Число смежных классов в каждом из разложений группы G по подгруппе Н (в бесконечном случае мощность множества этих классов) называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается . Если число смежных классов конечно, то Н называется подгруппой конечного индекса.[2]

Теорема (Лагранжа). Пусть , , , тогда .

Следствие. Порядок любого элемента делит порядок группы. Группа простого порядка р всегда циклическая и с точностью до изоморфизма – единственная.

Определение. Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группы или инвариантной подгруппой и обозначается , если левостороннее разложение группы G по подгруппе Н совпадает с правосторонним.

Иными словами, Н будет нормальным делителем в G, если для всякого элемента х из G

.

Таким образом, все подгруппы абелевой группы являются в ней нормальными делителями. С другой стороны, во всякой группе G и единичная подгруппа, и сама эта группа будут нормальными делителями: оба разложения группы G по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные элементы, оба разложения группы G по самой этой группе состоят из одного класса G.

Теорема. Ядра гомоморфизмов всегда являются нормальными делителями.

Пусть Н будет нормальным делителем группы G. В этом случае произведение любых двух смежных классов G по Н (в смысле умножения подмножеств группы G) само будет смежным классом по Н. Действительно, используя ассоциативность умножения подмножеств группы и равенство , мы для любых элементов х и у группы G получим:

.

Это равенство показывает, что для того, чтобы найти произведение двух данных смежных классов группы G по нормальному делителю Н, следует произвольным образом выбрать в этих смежных классах по одному представителю и взять тот смежный класс, в котором лежит произведение этих представителей.[3]

Таким образом, в множестве всех смежных классов группы G по нормальному делителю Н определена операция умножения. Покажем, что при этом выполняются все требования, входящие в определение группы. В самом деле, ассоциативность умножения смежных классов следует из ассоциативности умножения подмножеств группы, роль единицы играет сам нормальный делитель Н, являющийся одним из смежных классов разложения G по Н: именно, для любого х из G будет , . Наконец, для смежного класса хН обратным будет смежный класс х^-1Н, так как .

Построенная нами группа называется фактор-группой группы G по нормальному делителю Н и обозначается через .

Литература:

1. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967

2. Кострикин А.И Введение в алгебру.-М.: Наука,1977

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982