Дослідження властивостей вейвлет перетворення

Шалаєв Б.В.

Донецкий національний технічний університет

г. Красноармійськ, Україна

Актуальність. На сьогоднішній день дуже актуальна задача розробки засобів аналізу нестаціонарних сигналів в сфері діагностики машин вертально-поступальної дії, поршневих компресорів, двигунів внутрішнього згоряння, що пов’язана з неможливістю виконати аналіз звичайними методами. Існує безліч факторів, що спотворюють сигнал та ускладнюють інтерпретацію даних.

Опис задачі. Саме тому актуальною проблемою є вибір методу аналізу та обробки сигналів. Для найбільш простих задач достатньо віконного перетворення Фур’є. Однак незмінність розміру вікна значно ускладнює вибір його параметрів для аналізу сигналу. Щоб подолати проблему вікна фіксованого розміру, був введений вейвлет аналіз, як технологія використання вікон з розміром, що варіюється. Вейвлет аналіз представляє собою наступний логічний крок в обробці сигналів, та є одним з методів, що розвивалися найбільш швидко за останні 20 років – це сучасний і перспективний метод обробки даних. Методи вейвлет аналізу можливо застосувати до даних різної природи. Це можуть бути, наприклад, одномірні функції або двовимірні зображення. Грубу класифікацію вейвлет-алгоритмів можна зробити, виділивши безперервне (CWT – Contіnuous Wavelet Transform) і дискретне (DWT – Dіscrete Wavelet Transform) вейвлет-перетворення. На відміну від звичайних спектральних перетворень, вейвлет-аналіз дозволяє з однаковою точністю апроксимувати як гладкі функції, так і функції з різкими випадами, що дає можливість визначати незначні об’єкти. В якості базисних функцій, що утворюють ортогональний базис, можна використовувати широкий набір вейвлетів.

Методика рішення задачі. Вейвлет аналіз дозволяє локалізувати частотні компоненти сигналів з високою точністю в тому випадку, якщо правильно підібрано материнський вейвлет. Для більш детального аналізу обирають більш високий рівень декомпозиції.

Вейвлет декомпозиція вводить поняття масштабу, як альтернативу частоті, та карти - сигнал в області масштабів, як показано на рис 1.1. Це еквівалент часо-частотній області, що використовувалася в перетворенні Фур'є . Кожен масштаб в області масштабів відповідає певному діапазону частот в часо-частотній області.

Рис. 1.1 –Процес вейвлет перетворення

Вейвлет перетворення може бути класифіковане як безперервне чи дискретне. Загалом безперервні вейвлети краще для часо-частотного аналізу та дискретні вейвлети більше підходять для декомпозиції чи компресії. Це основна причина того, що мі розглядаємо безперервне вейвлет перетворення.

Термін вейвлет означає маленька хвиля, а саме вікно представляє собою форму хвилі обмеженої тривалості. Вейвлети - локалізовані хвилі, що розширюються до кінцевої тривалості в порівняння гармонічним коливанням, що тривають від мінус до плюс нескінченності, як показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. – Відмінність між хвилею та вейвлетом

Порівняння з аналізом Фур'є чітке. Вейвлет аналіз - це декомпозиція сигналу в зміщені та масштабовані версії оригінального вейвлета, в той час,коли перетворення Фур'є - це декомпозиція сигналу в гармоніки різних частот.

Математично, безперервне вейвлет перетворення функції f (t) визначається, як інтеграл перетворення f (t) з сімейством вейвлет функцій :

(1.1)

Іншими словами, безперервне вейвлет перетворення БВП (CWT-continuous wavelet transform ) визначене, як сума згорток сигналу з на масштабованою та зміщеною вейвлет функцію :

(1.2)

Функція як правило називається материнський вейвлет, а сімейство функцій - дочірні вейвлети. Дочірні вейвлети отримують за рахунок масштабування та зсув материнського вейвлету, як зображено на рис. 1.3. Фактор масштабу a відображає масштабування функції , та фактор зсуву b відображає часову трансляцію функції. Якщо a <1, вейвлет являється стиснутою версією (в часовій області) материнського вейвлету та відповідає як правило високим частотам. З іншого боку, якщо a >1 ширина його більша, та він відповідає низьким частотам.

Константу нормалізацію вибирають такою, щоб норма кожної функції була константою. Як результат - у вейвлета є досить багато коефіцієнтів С, що є функціями масштабу та зсуву.

.

Рис. 1.3. – Властивість масштабу вейвлет перетворення

Безперервний процес вейвлет перетворення може бути описаний, як 5 кроків:

1) Вибір вейвлету та його порівняння з початковою секцією сигналу, як зображено на рис. 1.4.

2) Підрахунок коефіцієнтів С, що відображають, як сильно корелюють вейвлет з секцією сигналу.

Рис. 1.4. – Порівняння вейвлета та початкової секції сигналу

3) Зсув вейвлета далі в часовій області, та повторення кроків 1-2 поки не буде оброблено всю часову область сигналу. (див рис 1.5)

Рис. 1.5– Порівняння вейвлета та другої секції сигналу

4) Масштабувати вейвлет та повторити кроки 1-3 (див рис 1.6.)

Рис. 1.6. – Порівняння масштабованого вейвлета та початкової секції сигналу

5) Повторити кроки 1-4 для всіх масштабів.

Отже, якщо в випадку перетворення Фур'є базисна функція отримувалася за обробки періодичною функцією, то в випадку вейвлет перетворення базисна функція отримується шляхом масштабування та зсуву функції обмеженої тривалості, за умови постійної норми. Основною перевагою вейвлета є гнучкість підходу, проте недоліком є неадаптивність базису, що негативно впливає на якість обробки нестаціонарних сигналів, бо вейвлет перетворення максимально ефективне при грамотному підборі материнського вейвлету.

Перелік літератури

1. Блаттер, Христіан. Вейвлет-аналіз. Основи теорії : навчальний посібник для вузів: пер. с нім. / К. Блаттер ; пер. Т. Э. Кренкель, ред. пер. А. Г. Кюркчан. – М. : Техносфера, 2006. – 271¹ с. : ил. –

2. Дьяконов, Володимир Павлович. Вейвлети. Від теорії до практики / В. П. Дьяконов. – 2-е вид., перероб. і доп. – М. : СОЛОН-Пресс, 2004. – 397 с. : ил.

3. Малла, Стефан Вейвлети в обробці сигналів : навлчльний посібник для вузів: пер. з другого англ. вид. / С. Малла ; пер. : Я. М. Жилейкин. – М. : Мир, 2005. – 671, [1] с. : ил

4. Чуі, Чарльз К..  Введення в вейвлети : навчальний посібник : Пер. с англ. / Ч. К. Чуи ; пер. : Я. М. Жилейкин. – М. : Мир, 2001. – 416 с. : ил.