МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОГО РАСПЛАВА

С.Ш. Кажикенова, К.О. Реттих

Карагандинский государственный университет им.Е.А.Букетова

г. Караганда, Казахстан

Расширение областей использования металлических расплавов в качестве рабочих тел и теплоносителей в ядерной энергетике, химии, космической технике и других отраслях промышленности, потребности металлургического производства и новых технологий материалов делают задачу исследования их теплофизических свойств, и в частности вязкости, актуальной. Необходимость исследования свойств расплавов определяется как растущими потребностями техники, так и научным значением получаемых результатов. Всякое движение расплава можно описать системой уравнений Навье – Стокса. В ограниченной области рассмотрим следующую систему нелинейных стационарных уравнений:

(1) , (2)

, (3)

с граничными условиями:

, , (4)

где вектор-функция скоростей, поле плотностей, поле давления расплава, вектор массовых сил, коэффициенты диффузии и вязкости, достаточно гладкая граница области . Разрешимость задачи (1) – (4) была исследована в работе [1]. Известно, что система уравнений (1) – (3) неэволюционная и поэтому прямое применение численных методов затруднительно. Для разрешения этой проблемы мы будем рассматривать другую модель неоднородного расплава, являющуюся аппроксимацией исходной модели (1) – (4) с малым параметром :

, (5)

, (6)

, (7)

с граничными условиями:

, , (8)

Система уравнений (5) – (7) является системой типа Коши-Ковалевской. Пространство подпространство , является замыканием множества бесконечно-дифференцируемых финитных вектор - функций [2].

Определение. Сильно-обобщенным решением задачи (5) – (8) называют совокупность функций , которые удовлетворяют следующим условиям:

1) ;

2) выполняется интегральное равенство: Уравнения (6),(7) и граничные условия (8) выполняются почти всюду в по соответствующей мере.

Теорема 1 Если , то при достаточно малом:

, (9)

существует хотя бы одно сильно-обобщенное решение задачи (5) –(8), где - константы, зависящие только от данных задачи и не зависящие от функций .

Доказательство данной теоремы строится из трех этапов: получение априорных оценок, использование метода Галеркина и предельный переход. Сначала получим необходимые априорные оценки. Умножим (6) на скалярно в :

, (10)

К правой части применим интегрирование по частям:

.

По принципу максимума из уравнения (6) получим:

, (11)

Следовательно:

.

Предположим, что , тогда из (10) имеем:

. (12)

Умножим уравнение (5) на функцию скалярно в : Отсюда имеем:

Далее, оценивая интегральные слагаемые также как в [3, с.187], получим:

Допустим, что , то есть . Используя неоднократно неравенство Юнга, выводим:

Выберем и, учитывая (3), получим оценку:

Далее допустим, что и . Тогда:

Таким образом, имеем оценку:

(13)

при достаточной малости :

. (14)

На основании теорем вложения [2] следует:

. (15) Из неравенства (12) с учетом оценки (13) вытекает:

(16)

В силу (15) получим:

(17)

Оценивая аналогично [3, с.188] в негативной норме , имеем:

(18)

Далее переходим к методу Галеркина для построения приближенных решений. Пусть базис в пространстве из следующей задачи:

(19)

Приближенное решение представим в виде:

, (20)

а плотность и давление есть классическое решение задачи:

(21)

. (22)

Числа находятся из следующей системы уравнений:

. (23)

Тем самым [3,с.189] доказано существование решения задачи (20) – (23) и справедливость априорных оценок (11), (13), (15)–(18) для приближенных решений Тогда из последовательностей можно выделить подпоследовательности, для которых имеем:

* слабо в ,

* слабо в ,

слабо в ,

сильно в , ,

слабо в ,

сильно в , ,

слабо в .

Далее, переходя к пределу по выбранным последовательностям в интегральном тождестве, соответствующим интегральному тождеству в определении и в (21) – (22) заключаем, что предельные функции являются сильно-обобщенным решением задачи (5) – (8).

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 Пусть выполнены все условия теоремы 1, тогда сильно-обобщенное решение задачи (5) – (8) при сходится к сильно-обобщенному решению задачи (1) – (4).

Доказательство. В силу равномерных априорных оценок имеем:

* слабо в ,

* слабо в ,

слабо в ,

сильно в , ,

слабо в ,

сильно в , ,

сильно в .

Далее, переходя к пределу при в соответствующих тождествах, легко устанавливаем, что предельные функции есть сильно-обобщенное решение задачи (1) – (4).

Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. – Новосибирск: Наука, 1983, 318 с.

2. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1970, 288 с.

3. Смагулов Ш. С., Байтуленов Ш. Б. Корректность одной диффузионной стационарной модели неоднородной несжимаемой жидкости. //Труды международной конференции «Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы: Казахстан в третьем тысячелетии», 26-28 октября, Алматы, 2000, С.185-189.