УДК-517

Д.ф.-м.н. Срумова Ф.В.

Таджикский национальный университет

О СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ, СВЯЗАННЫХ С ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

Рассмотрены спектральные разложения, связанные с полигармо-ническим оператором.

Ключевые слова: полигармонический оператор.

В работе [1] исследовалась обобщенная проблема локализации средних Рисса порядка , отвечающих произвольному самосопряженному неотрицательному расширению оператора , -оператор Лапласа в произвольной -мерной области

Рассмотрим неотрицательное самосопряженное расширение Т оператора в области , где -соответствующее разложение единицы, обладающее ядром типа Карлемана из класса .

Пусть

спектральное разложение любой функции . Средние Рисса порядка определяются равенством

Теорема. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) почти всюду в подобласти области . Тогда справедливо равенство

почти всюду в .

Для доказательства теоремы достаточно установить сходимость интеграла

(1)

где -произвольная, строго внутренняя подобласть области . Доказательство сходимости интеграла (1) проводится так же, как в [1] и [2], только с некоторыми дополнениями, возникающими при использовании асимптотической формулы среднего значения, установленной в [3]. Размерность области можем считать нечетной так же, как в [1] и [2].

Для получения средних Рисса

вводим вспомогательную функцию

и с помощью формулы среднего значения подсчитываем образ Фурье этой функции:

(2)

где -ядра упорядоченного представления пространства относительно оператора с мерой .

Интегрируя выражение, стоящее в правой части (2), раз по частям, получим

(3)

где -нечетно. Характер рассматриваемой особенности обусловливает обращение в нуль результата нижней подстановки в (3). Умножая равенство (3) на образ Фурье , удовлетворяющий условиям теоремы, проинтегрируем полученное выражение по от 0 до , затем просуммируем по всем от 1 до В силу свойств функций и и равенства Парсеваля получим равный нулю интеграл