Сатыбалдиев О.С., д.п.н., профессор

Оралов Жандос, магистрант

 

Казахский Национальный технический университет имени К.И.Сатпаева

Применение преобразования Лапласа для решения волнового уравнения

 

Преобразование Лапласа играет важную роль при изучении и анализа инженерных систем. Преобразование Лапласа относится к классу интегральных преобразований и применяется для анализа линейных систем и сигналов. В этой статье рассматривается применение преобразования Лапласа для нахождения решения волнового уравнения.

Определение 1. Оригиналом называется функция действительного переменного  определенная при  имеющая в каждом ограниченном промежутке не более конечного числа точек разрыва первого рода и удовлетворяющая при  неравенству

для некоторых чисел  и .

Определение 2. Изображением по Лапласу (преобразованием Лапласа) оригинала  называется функция вида

 или

Преобразование Лапласа  является функцией комплексного переменного .

Отметим следующее свойство оригинала.

Пусть  - дифференцируемый оригинал,  его изображение,  - оригинал, тогда

Следствие. Пусть функция  и ее производные , , ...,  являются оригиналами,  тогда

Рассмотрим волновое уравнение

                                          (1)

Ищем решение этого уравнения со следующими начальными и граничными условиями

                                                (2)

                                             (3)

                                                  (4)

 при  для                                      (5)

где  - отключение струны от положения равновесия (искомая функция); из (2) следует, что в начальный момент времени струна находится в положении равновесия; из (3) следует, что в начальный момент времени струна имеет начальную скорость колебаний (); из (4) следует, что левый конец струны закреплен; из (5) следует, что при удалении  в бесконечность отклонение  стремится к нулю.

Для построения решения задачи (1)-(5) используем преобразования Лапласа. К обеим частям уравнения (1) применяем преобразование Лапласа

                                                 (6)

Известно, что

                          (7)

где .

Так как   (см. (2)-(3)), то равенство (7) перепишем в виде

                                    (8)

Рассмотрим выражение

                          (9)

С учетом (8)-(9) равенство (6) перепишем в виде

                                     (10)

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид

При этом общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

где  и  - произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения (10) будем искать в виде

Тогда общее решение уравнения (10) есть сумма .

Если к обеим частям (4) и (5) применим преобразование Лапласа, то получим следующие граничные условия относительно

  при

Эти условия будем использовать для нахождения значений произвольных постоянных  и .

Использование формулы  и соотношения

 

дает решение задачи (1)-(5) в виде

где  - функция Хевисайда,  обратное преобразование Лапласа.

 

 

 

Литература

         1. Отелбаев М. Оценки спектра эллиптических операторов и связанные с ними теоремы вложения. Докт. …, дис. – М.: МГУ, 1978.

         2. Guzman M. A covering lemma vith application so differentality of measures and singular integral operators, studio, Math., 34, №3, 1970, 299-370.

         3. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений, ДАН СССР, 77, №1 (1951), 11-14.