Моделирование бифуркаций аттрактора Ресслера в MAPLE

 

Система дифференциальных уравнений, решение которой, приводит к созданию аттрактора Ресслера (рис. 1) имеет вид:

    

.(1)

Рассмотрим поведение решения системыпри изменении коэффициентовa, b.

Циклы периодов 2 и 8 соответственно при значениях параметра  и  и нерегулярный аттрактор при.Действительно, приуказанных выше фиксированных значениях параметров  и  с увеличеваниемпараметра  от значения до величины  на­блюдается каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода (рис. 2). А при больших значениях и наблюдаются циклы соответственно периодов 5 и 3, что свидетельствует о наличии субгармонического каскада в сценарии перехода к хаосут.е. сценарий перехода к хаосу развивается согласно порядку Шарковского.Циклы периодов 5 и 3 соответственно при значениях параметра  и (рис.3).Исследование сценария перехода к хаосу в данной системе проведем при фиксированных значениях параметров и .

 С ростом значений параметра  в системе (1) наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода исходного цикла.

Рис.1 Модель аттрактора Ресслера в  MAPLE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При a := 0.5; b := 0.75;

Трехмерное изображение

Рис. 2

При a := 0.5; b := 0.75;

Трехмерное изображение

Рис. 3

 

 

Разработанный математический алгоритм

 

Заключение

 

Таким образом, в системах Рёсслера вида (1) переход к хаосу осуществляется через каскады бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонические каскады и гомоклинический каскад бифуркаций.

 

 

Список используемых источников

 

1. Н. А. Магницкий, С. В.СидоровНОВЫЕ МЕТОДЫ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ.

2. Итоги науки техники. Современные проблемы математики. Фун­даментальные направления. Динамические системы.-М.: ВИНИТИ, 1985, т. 1, 243 с., т. 2, 312 с.

3. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нели¬нейной динамики. - М.: УРСС, 2002, 360 с.