Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравнения

Д.ф.-м.н. Городецький В.В., к.ф.-м.н. Мартинюк О. В.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Україна

Нелокальна багатоточкова задача для одного класу еволюційних рівнянь вищого порядку за часовою змінною

1. Вступ. Теорія нелокальних крайових задач як розділ загальної теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними інтенсивно розвивається з сімдесятих років минулого століття. Нелокальними крайовими задачами прийнято називати задачі, в яких замість задання значень розв’язку або його похідних на фіксованій частині межі задається зв'язок цих значень із значеннями тих самих функцій на інших внутрішніх або межевих многовидах. Загальне означення нелокальних умов та їх класифікація були запроваджені А.М.Нахушевим [1].

Дослідження таких задач зумовлене багатьма застосуваннями у механіці, фізиці, хімії, біології, екології та інших природничо-наукових дисциплінах, які виникають при математичному моделюванні тих чи інших процесів [2-7]. На доцільність використання нелокальних умов з точки зору загальної теорії крайових задач вперше вказав О.О.Дезін [8], який досліджував розв’язні розширення диференціальних операторів, породжених загальною диференціальною операцією зі сталими коефіцієнтами. Він показав, що для постановки коректної крайової задачі необхідно використовувати поряд з локальними і нелокальні умови. Напрям досліджень, який розпочав О.О. Дезін, розвивався також у працях В.К. Романка [9], М.Ю. Юнусова [10], А.Х. Мамяна [11], О.А. Макарова [12] та ін.

Нелокальні крайові задачі у різних аспектах вивчали багато математиків, використовуючи при цьому різні методи й підходи [9-17]. Одержані важливі результати щодо постановки, коректної розв'язності та побудови розв'язків, досліджені питання залежності характеру розв'язності задач від поведінки символів операцій, сформульовані умови регулярності та нерегулярності крайових умов для важливих випадків диференціально-операторних рівнянь. До таких задач відноситься і нелокальна багатоточкова за часом задача, яка є узагальненням задачі Коші, коли початкова умова замінюється умовою

(1)

, , – фіксовані числа (якщо , , то маємо, очевидно, задачу Коші).

У даній роботі досліджується нелокальна багатоточкова задача з умовою (1) для диференціально-операторного рівняння -го порядку за часовою змінною () з невід'ємним самоспряженим оператором у гільбертовому просторі з суто дискретним спектром. Позитивні та негативні простори, які відповідають такому оператору, включаються в простір формальних рядів Фур'є, що ототожнюються з певними лінійними неперервними функціоналами (узагальненими елементами). У просторі формальних рядів Фур'є визначається абстрактна операція згортки, за допомогою якої вказані оператори трактуються як оператори згортки. На підставі такого підходу встановлюється розв'язність нелокальної багатоточкової задачі, при цьому будується фундаментальний розв'язок (ФР) , , досліджуються його структура та властивості. Розв'язок подається у вигляді згортки , де – лінійний неперервний функціонал на певному підпросторі основних елементів (, – гільбертів простір, – простір, топологічно спряжений з ). Зазначимо, що , при кожному , але умову (1) задовольняє в слабкому сенсі, тобто , , де границі розглядаються в просторі , який є ''максимальним'' простором елементів (лінійних неперервних функціоналів) для постановки нелокальної багатоточкової задачі, розв'язок якої володіє характерними властивостями ФР такої задачі.

2. Формальні ряди Фур'є. Нехай – невід'ємний самоспряжений оператор з дискретним спектром в сепарабельному гільбертовому просторі зі скалярним добутком та нормою , – область визначення оператора , щільна в , – ортонормований базис в із його власних векторів, – монотонно зростаюча послідовність відповідних власних чисел, , , при цьому виконується умова: при деякому . Введемо позначення:

( лежить щільно в і є інваріантним відносно оператора ), – простір всіх антилінійних неперервних функціоналів на зі слабкою збіжністю:

(символ над стрілкою позначає простір, в якому розглядається збіжність, – дію функціоналу на елемент ).

Зіставлення

визначає вкладення . Отже, , причому вкладення щільні і неперервні. Елементи з називатимемо узагальненими.

Нехай – простір усіх числових послідовностей , , з покоординатною збіжністю. Ізоморфізм з на відображає на множину фінітних послідовностей з , а – на . При цьому оператору відповідає операція і його можна продовжити на до неперервного оператора : , [18]. Нехай . Ряд , де , називається рядом Фур'є елемента , а числа – його коефіцієнтами Фур'є. Для довільного елемента його ряд Фур'є збігається в до і навпаки, довільний ряд збігається в до деякого елемента і цей ряд є рядом Фур'є для [18]. Отже, можна розуміти як простір формальних рядів вигляду .

Введемо деякі класи елементів, пов'язані з оператором . Для цього розглянемо монотонно зростаючу послідовність , , додатних чисел, яка володіє властивостями [18]: 1) : ; 2) : .

Прикладами таких послідовностей є послідовності Жевре вигляду , , , де – фіксований параметр. Позначимо ,

Простір – банаховий відносно норми . Покладемо . Тоді , причому всі вкладення є щільними і неперервними [18]. Якщо через , позначити простори антилінійних неперервних функціоналів на , відповідно, то, згідно з [18], прийдемо до ланцюжка щільних і неперервних вкладень ; при цьому .

Нехай

Із властивостей послідовності випливає, що функція неперервна на , монотонно зростає на швидше за довільний степінь [18]. З точки зору поведінки коефіцієнтів Фур'є їхніх елементів простори та описуються так [18]:

Простори , , називаються просторами Жевре порядку , породженими оператором ; збігається з множиною аналітичних векторів оператора [18]. Якщо , , то ~, , тобто в цьому випадку для правильними є співвідношення еквівалентності:

3. Невід'ємні самоспряжені оператори як оператори згортки. Нехай , , . У просторі визначимо операцію ''*'', яку назвемо ''абстрактною згорткою'', або просто згорткою, за правилом

тобто – узагальнений елемент з простору , коефіцієнти Фур'є якого пов'язані з коефіцієнтами Фур'є узагальнених елементів , співвідношенням , .

Розглянемо послідовність , за якою будуються простори та , спеціального вигляду, а саме, , де , , – послідовність додатних чисел, яка: а) монотонно спадна; б) : ; в) . Послідовність , як встановлено в [19], володіє властивостями 1), 2). Прикладом послідовності з властивостями а) – в) може служити послідовність , , де – фіксований параметр [19].

Якщо , то функція , побудована за такою послідовністю, диференційовна на [19], при цьому справджується нерівність

.

Зауважимо також, що послідовність задовольняє умову , з якої випливає (див. [20]), що , , з деякими сталими , . Правильним є таке твердження.

Лема 1. а) Якщо , то .

б) Для довільних та згортка є елементом простору .

Нехай : – неперервна функція, монотонно зростаюча на , . За функцією та оператором побудуємо оператор :

(2)

де , , – спектральна функція оператора , з областю визначення

який також є невід'ємним і самопряженим в . Інтеграл (2) береться, фактично, лише по спектру оператора , який, у даному випадку, є дискретним з єдиною граничною точкою у нескінченності: . Спектральна функція , , – кусково-стала і має розриви лише в точках , , причому – оператор проектування на власний підпростір оператора , що відповідає власному значенню . Відповідні власні вектори , , утворюють ортонормований базис в , тому , . Тут , , у цьому випадку має вигляд , , а інтеграл (2) є таким: , , – власні значення оператора . Продовжимо на до неперервного оператора :

Розглянемо узагальнений елемент з простору , побудований за функцією . Тоді – оператор згортки, який діє у просторі за правилом: Оператор розумітимемо як звуження оператора на .

Лема 2. Оператор неперервний у просторі тоді і лише тоді, коли .

Зауваження 1. Умова еквівалентна такій умові на функцію :

4. Нелокальна багатоточкова задача. Розглянемо диференціально-операторне рівняння

(3)

де – оператор, побудований у п. 3, який є лінійним і неперервним у просторі , – фіксоване. Надалі вважаємо, що функція задовольняє умову:

Під розв'язком рівняння (3) розуміємо функцію : , двічі сильно диференнційовну в , яка задовольняє рівняння (3).

Теорема 1. Для довільного функція

(4)

є розв'язком рівняння (3).

Зауваження 2. Введемо позначення

Із властивостей функції випливає, що при кожному . Крім того, , . Отже, оператор згортки переводить кожний елемент простору (зокрема, кожний елемент простору ) у розв'язок рівняння (3).

Поставимо задачу: в множині розв'язків рівняння (3) вигляду (4) знайти розв'язок, який задовольняє умову

(5)

, , , – фіксовані числа, , ; при цьому розуміємо як , де границя розглядається в просторі (тобто вважаємо, що існує елемент такий, що , ; ). Вказану задачу називатимемо багатоточковою задачею для рівняння (3). Із теореми 1 та зауваження 2 випливає, що задачу (3), (5) можна ставити ще й так: у класі знайти елемент , який у згортці з дає розв'язок рівняння (3), що задовольняє умову (5) (у вказаному розумінні). Відповідь на поставлене питання дає наступна теорема.

Теорема 2. Задача (3), (5) розв'язна, розв'язок дається формулою

, де , , , причому , .

Із леми 1 випливає, що згортку можна розглядати і у випадку, коли , при цьому при кожному .

Для рівняння (3) задамо умову вигляду (5) з елементом ; при цьому під розв'язком відповідної багатоточкової задачі розуміємо функцію , яка є розв'язком рівняння (3), а (5) задовольняє в сенсі:

(6)

де границі в (6) розглядаються в просторі .

Теорема 3. Багатоточкова задача (3), (6) розв'язна, розв'язок має вигляд , , , .

Як приклад, розглянемо самоспряжений оператор , породжений у гільбертовому просторі диференціальним виразом та умовами , , – модуль оператора диференціювання, . Спектр оператора – дискретний: з єдиною граничною точкою у нескінченності, , , , – його власні функції. У цьому випадку

тобто кожний елемент з є тригонометричним поліномом степеня , – простір усіх формальних тригонометричних рядів, які ототожнюються з узагальненими -періодичними функціями як антилінійнийними неперервними функціоналами на просторі тригонометричних ноліномів [21].

Згортка двох узагальнених періодичних функцій визначається так [21]: , . Вона має зміст, бо

При відображенні простір відображається на , оператор переходить у оператор множення на , згортка – в покоординатне множення: , . Отже, – узагальнена періодична функція з , яка ототожнюється з рядом Фур'є , а згортка в збігається з ''абстрактною згорткою'', введеною в п. 3.

За послідовність візьмемо послідовність , де – фіксований параметр. Як зазначалося раніше, послідовність задовольняє умови а) – в), відповідна послідовність володіє властивостями 1), 2), ~, . За функцію , за допомогою якої будується оператор , візьмемо , . Безпосередньо переконуємося в тому, що при виконанні умов , , функція задовольняє відповідні умови. Наприклад, якщо взяти , то , ; при цьому рівняння (3) при набуває вигляду

(7)

Нелокальна багатоточкова задача для рівняння (7) з умовою (6), де , розв'язна (у вказаному раніше сенсі: відповідні границі в (6) розглядаються в просторі ). Розв'язком є -періодична і нескінченно диференційовна за змінною функція

Отже, узагальнені -періодичні функції з простору можна брати за функції, за допомогою яких ставиться нелокальна умова (6), при цьому розв'язок відповідної задачі зберігає властивості гладкого розв'язку ''класичної'' нелокальної задачі для рівняння (7) з умовою (5), де .

Література:

1. Нахушев А.М., Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод, Дифференц. уравнения. 18 (N 1) (1982), 77-81.

2. Майков А.Р., Поезд А.Д., Якунин С.А., Экономический метод вычисления нестационарных нелокальных по времени условий излучения для волновых систем, Журн. вычислит. математики и мат. физики. 30 (N 8) (1990), 1267-1271.

3. Нахушев А.М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, Москва, 1995.

4. Белавин И.А., Капица С.П., Курдюмов С.П., Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения, Журн. вычислит. математики и мат. физики. 38 (N 6) (1988), 885-902.

5. Bouzinab A., Arino O., On the existence and uniqueness for an age-depent population model with nonlinear growth, Facta Univ. Ser. Math Inf. 8 (1993), 55-68.

6. Cannon I.R., J. van der Hoek, Diffusion subject to the specification of mass, J. Math. Anal. and Appl. 115 (N 2) (1986), 517-529.

7. Song J., Some developments in mathematical demography and their applicatioto the Peoples Republic of China, Theor Pop. Biol. 22 (N 3) (1982), 382-391.

8. Дезин А.А., Операторы с первой производной по ''времени'' и нелокальные граничные условия, Изв. АН СССР. Сер. мат. 31 (N 1) (1967), 61-86.

9. Романко В.К., Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов, Дифференц. уравнения. 10 (N 1) (1974), 117-131.

10. Юнусов М.Ю., Операторные уравнения с малым параметром и нелокальные граничные условия, Дифференц. уравнения. 17 (N 1) (1981), 172-181.

11. Мамян А.Х., Общие граничные задачи в слое, ДАН СССР. 267 (N 2) (1982), 292-296.

12. Макаров А.А., Существование корректной двухточечной краевой задачи в слое для систем псевдодифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения. 30 (N 1) (1994), 144-150.

13. Нахушев А.М., О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями, Дифференц. уравнения. 21 (N 1) (1985), 92-101.

14. Самарский А.А., О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения. 16 (N 11) (1980), 1925-1935.

15. Пташник Б.Й., Ільків В.С., Кміть І.Я., Поліщук В.М., Нелокальні крайові задачі для рівнянь з частинними похідними, Наук. думка, Київ, 2002.

16. Чесалин В.И., Задача с нелокальными граничными условиями для некоторых абстрактных гиперболических уравнений, Дифференц. уравнения. 15 (N 11) (1976), 2104-2106.

17. Скубачевский А.Л., Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах, Дифференц. уравнения. 26 (N 1) (1990), 120-131.

18. Горбачук В.И., О разрешимости задачи Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в различных пространствах, Прямые и обратные задачи спектральной теории дифференциальных операторов: Сб. науч. трудов., Киев, 1985.

19. Городецький В.В., Задача Коші для еволюційних рівнянь нескінченного порядку, Рута, Чернівці, 2005.

20. Бабенко К.И., Об одной новой проблеме квазианалитичности и о преобразовании Фурье для целых функций, Труды Моск. матем. общества. 5 (1956), 523-542.

21. Горбачук В.И., Горбачук М.Л., Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений, Наук. думка, Киев, 1984.