Математика/4. Прикладная математика

      

                                    Д.т.н. Федотов А.И., к.т.н. Лисин С.К.

            СПб политехнический университет Петра Великого, РОССИЯ

       СПб национальный минерально-сырьевой университет «Горный», РОССИЯ

 

            МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВИБРАЦИОННО-

       КОНТАКТНОГО КОНТРОЛЯ C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

               ВИБРИРУЮЩИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ 

 

         Создание и развитие вибрационных, виброударных и других методов измерений и контроля параметров и свойств изделий, в том числе контроля свойств объектов замкнутого технологического цикла, связано с необходимостью построения адекватных теоретических моделей их режимов. Становятся актуальными задачи прогнозирования и анализа нелинейных динамических режимов [1-3,6,7], имеющих важнейшее значение в мировой практике для повышения точности и эффективности методов и средств контроля удара, вибрации и обеспечения вибро-защиты.

Рассмотрим математические модели колебаний подобных подвижных систем в режиме вибрационного контакта измерительного наконечника преобразователя с объектом контроля. При этом нелинейные численно решаемые математические модели будут реализованы как точными, так и асимптотическими методами. Функциональная схема одномерного вибрационно-контактного преобразователя содержит измерительный наконечник, соударяющегося с поверхностью контролируемого объекта. В одномерном исполнении преобразователь [3] содержит мультивибратор и высокочувствительную генераторную систему. Подвижная сис­тема преобразователя имеет нелинейную динами­ческую характеристику, обусловленную существенным различием жест­кости упругого подвеса измерительного наконечника в зоне и вне зоны его контакта с поверхностью контролируемого изделия. Резонансный режим измерительного наконечника поддерживается мультивибратором преобразователя.

  Восстанавливающая характеристика  в интервалах упругой характеристики выражается двумя различными функциями и не является линейной функцией. Подобные функции, составленные из линеаризованных отрезков и остающиеся однозначными в отдельном закрытом интервале, получили название кусочно-линейных функций. При этом выражения  упругих характеристик в безразмерной форме для решений методом «сшивания» и асимптотическим методом соответственно имеют вид:

       ;           

В соответствии с методом гармонического баланса (метод Боголюбова Н.Н.) соответствующее решение записывается в виде  . 

Здесь и - смещение центра и амплитуда колебаний; - относительная жесткость; . Уравнение , соответствует координате системы  = 1 и фазовому параметру .

Следовательно, уравнение для определения смещения центра колебаний измерительного наконечника методом гармонического баланса принимает вид . В численно решаемую систему уравнений искомых переменных входит амплитуда колебаний измерительного наконечника вибрирующего преобразователя  вида

                 

Здесь - амплитуда возмущающего воздействия преобразователя.

Замкнутая  система уравнений позволяет установить аналитическую зависимость жесткости χ2 в виде

                                                             (1)

где – v1 и v2  - жесткости упругого подвеса и объекта контроля соответственно.

Для применения метода измерения жесткости необходимо получить зависимость жесткости χ() с помощью численных решений системы. Смещение центра колебаний  характеризует изменение амплитуды выходного сигнала преобразователя при изменении физико-механических свойств контролируемых объектов.

В общем виде областью определения функции точного решения  является интервал [, 1]. Здесь  – координата положения измерительного наконечника (), отсчитываемая от равновесного положения; Δ – зазор измерительной системы. Областью определения функций  и  является интервал [1, ].

В варианте точного решения дифференциальное уравнение вынужденных колебаний на интервале  имеет вид

                                   ,                                                             (2)

               где            

          В интервале  имеем    

                            .                                                              (3)

Для определения точных периодических решений системы уравнений (2), (3) целесообразен метод «припасовывания». Следуя методу припасовывания, для уравнения (3) принимаем начальные условия:

                        ,                                                                  (4)

где – момент времени, соответствующий вхождению измерительного наконечника в контакт  с поверхностью объекта измерения. Конечные условия для уравнения (3):

                                                                                            (5)

где – момент выхода измерительного наконечника из фазы контакта.

Начальными условиями для уравнения (2), описывающего движение в фазе без контакта, будут условия (5). Следовательно, конечными условиями и одновременно условиями периодичности для уравнения (2) являются условия

                     , .                                                   (6)

 Максимальные отклонения измерительного наконечника от положения статического равновесия  вправо и влево определяются с учетом условий

            , , , , , .                                  (7)                           

        Приведенные соотношения обеспечивают возможность определить амплитудно-частотные характеристики системы в режиме вибрационного контакта измерительного наконечника преобразователя. Рассматриваемая  расчетная модель строится с учетом упругих свойств измеряемого объекта . Режиму вынужденных колебаний на фазовой плоскости соответствует замкнутая фазовая траектория, время пробега изображающей точки которой совпадает с периодом возмущающей силы.

       На рис. 1 представлен фазовый портрет установившихся режимов вибрационно-контактного преобразователя.

                     Рис. 1. Фазовая диаграмма установившихся режимов

 

           В табл. 1 приведены значения параметров вибрационно-контактных режимов одномерного измерительного преобразователя. Расчетная модель воспроизводит аналитическую связь параметра упругих свойств измеряемого объекта с параметрами  и s0 , устанавливающих область устойчивых колебаний.                                                       

                                                                                                           Таблица 1

Режимы

η

ξ

α 2

α 1

s0

1

1.5

0.7

1.03

-1.854

1.013

0,42

2

1.5

0.7

1.04

-1.932

1.077

0,427

3

1.5

0.7

1.1

-1.96

1.108

0,426

 

Перейдем к определению стандартной неопределенности искомой относительной жесткости системы «измерительный наконечник – объект контроля». Жесткость χ рассматриваемой системы является функцией параметров s0 , η, ξ, 1. При этом параметр s0 непосредственно измеряется. Неопределенность данного параметра носит характер статистической погрешности  и определяется через среднее квадратичное отклонение. Параметры возмущения η и частоты ξ устанавливаются при тарировании измерительного вибрационно-контактного преобразователя и их неопределенности являются систематическими погрешностями. Неопределенность фазовой длительности 1  контролируется специальными средствами. Стандартная неопределенность типа В этой длительности вычисляется как для случая однократного измерения с учетом погрешности, определяемой классом точности данного средства измерений.

Неопределенность χ определяется по правилу получения неопределенности косвенных измерений, то есть путем переноса неопределенностей в значениях параметров 1, s0 , η, ξ на  неопределенность параметра жесткости.

                                    

 

                                      Литература:

1. Вибрации в технике. Защита от вибраций и ударов; Т.6: Справочник / Под ред. К.В. Фролова/. М.: Машиностроение, 1981. - 456 с.

2. Закржевский М.В. Колебания существенно-нелинейных систем.- Рига: Зинатне, 1980. - 190 с.

3. Федотов, А.И. Теория измерений /А.И. Федотов, С.К. Лисин, Г.С. Морокина. – СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2013. – 325 с.          

4. Гурецкий В.В., Лисин С.К. Модели режимов и устройства неразрушающего контроля твердости изделий. //  Измерительная техника, 2006, №1.

5. Лисин С.К., Федотов А.И. Материалы 10-й международной научно-практической конференции. Современные научные достижения. Том 4, София, 2014, с. 38 – 44.

6. Cyril M. Harris. Shock  and Vibration Handbook. McGraw – Hill, 1996, 1000 p.

7. Victor Wowk. Machinery Vibration: Measurement and Analysis. McGraw – Hill Professional, 1991, 358 p.