Жуманбекова А.А., Ибрагимов У.М.

ЮКГУ им. М.Ауезова, Шымкент, Казахстан

Модели применения зависимой последовательности случайных величин при решении экономических задач

Введение. Задача применения зависимой последовательности случайных величин на основе его исторических значений является основой для финансового планирования в экономике и торговле, планирования, управления и оптимизации объемов производства [1].

В настоящее время компаниями осуществляется накопление исторических значений экономических и физических показателей в базах данных, что существенно увеличивает объемы входной информации для задачи. Вместе с тем, развитие аппаратных и программных средств предоставляет все более мощные вычислительные платформы, на которых возможна реализация сложных алгоритмов. Кроме того, современные подходы к экономическому и техническому управлению предъявляют все более жесткие требования к точности применения. Таким образом, задача применения зависимой последовательности случайных величин усложняется одновременно с развитием информационных технологий.

Модели на базе цепей Маркова. Модели применения зависимой последовательности случайных величин на основе цепей Маркова (Markov chain model) предполагают, что будущее состояние процесса зависит только от его текущего состояния и не зависит от предыдущих [2]. В связи с этим процессы, моделируемые цепями Маркова, должны относиться к процессами с короткой памятью. Пример цепи Маркова для процесса, имеющего три состояния, представлен на рис.1.

Здесь - состояния процесса ; - вероятность перехода из состояния в состояние , - вероятность перехода из состояния в состояние и т. д. При построении цепи Маркова определяется множество состояний и вероятности переходов. Есть текущее состояние процесса , то качестве будущего состояния процесса выбирается такое состояние , вероятность перехода в которое (значение ) максимальна.

Рис. 1. Цепь Маркова с тремя состояниями

Таким образом, структура цепи Маркова и вероятности перехода состояний определяют зависимость между будущим значением процесса и его текущим значением. Простота и единообразие анализа и проектирования являются достоинствами моделей на базе цепей Маркова. Недостатком данных моделей является отсутствие возможности моделирования процессов с длинной памятью [2].

Модель экспоненциального сглаживания (exponential smoothing, ES) применяется для моделирования финансовых и экономических процессов [3]. В основу экспоненциального сглаживания заложена идея постоянного пересмотра прогнозных значений по мере поступления фактических. Модель ES присваивает экспоненциально убывающие веса наблюдениям по мере их старения. Таким образом, последние доступные наблюдения имеют большее влияние на прогнозное значение, чем старшие наблюдения. Функция модели ES имеет вид

, (1)

,

где - коэффициент сглаживания, ; начальные условия определяются как . В данной модели каждое последующее сглаженное значение является взвешенным средним между предыдущим значением временного ряда и предыдущего сглаженного значения .

Модель Хольта или двойное экспоненциальное сглаживание применяется для моделирования процессов, имеющих тренд. В этом случае в модели необходимо рассматривать две составляющие: уровень и тренд [3]. Уровень и тренд сглаживаются отдельно

;

; (2)

.

Здесь - коэффициент сглаживания уровня, как и в модели (1), - коэффициент сглаживания тренда.

Достоинствами данного класса моделей являются простота и единообразие их анализа и проектирования. Данный класс моделей чаще других используется для долгосрочного прогнозирования. Недостатком данного класса моделей является отсутствие гибкости [3].

Выводы. Задача применения зависимой последовательности случайных величин имеет высокую актуальность для многих предметных областей и является неотъемлемой частью повседневной работы многих компаний. Установлено, что к настоящему времени разработано множество моделей для решения данной задачи. Выявлены достоинства и недостатки рассмотренных моделей.

Литература

1. Бокс Дж., Дженкинс Г.М. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 406 с.

2. Zhu J., Hong J., Hughes J.G. Using Markov Chains for Link Prediction in Adaptive Web Sites // 1st International Conference on Computing in an Imperfect World, UK, London, 2002. P. 60–73.

3. Prajakta S.K. Time series Forecasting using Holt-Winters Exponential Smoothing // Kanwal Rekhi School of Information Technology Journal [электронный ресурс]. 2004. 13 p. URL:http://www.it.iitb.ac.in/~praj/acads/ seminar/04329008_ExponentialSmoothing.pdf (дата обращения 15.08.2017).