Докукова Н.А., Кафтайкина Е.Н., Конон Н.П.

Белорусский государственный университет

СИНХРОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ N - АВТОНОМНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
НА ОДНОЙ НЕУПРУГОЙ БАЛКЕ С ЖЕСТКОЙ ЗАДЕЛКОЙ

Введение. Синхронизацией называют подстройку ритмов автоколебательных систем за счет слабого взаимодействия между ними [1, 2]. В этом явлении не совсем ясны механизмы проявления тех или иных особенностей взаимовлияния колебаний осциллирующих элементов, по фазам, частотам, амплитудам, по влиянию внешних воздействий и факторов на отдельные тела и всю систему в целом.

В работе представлена общая линейная динамическая модель колебаний произвольного числа n одинаковых автономных осцилляторов на рисунке 1, имеющих общую связь – неупругую балку с жесткой заделкой, записаны уравнения движения (1)-(3), исследованы особенности и закономерности в представленных математических моделях, изучено поведение объектов (7)-(11), (12)-(16) с изменяющимися начальными условиями, получены точные аналитические формулы (5), (6) и в таблице 1 колебательных режимов (n+1) тел, по методике, развитой авторами в [3-5], проведены численные расчеты. Результаты сопоставлены с экспериментальными данными, широко известными в литературе [1, 2].

Рисунок 1 - Схема колебаний n - осцилляторов на закрепленной балке с жесткой заделкой

Постановка задачи и общий анализ. Система уравнений движения динамической схемы на рисунке 1 в матричной форме примет вид:

, (1)

с начальными условиями

, , (2)

, _. (3)

Здесь , − дифференциальные операторы по параметру времени t; , ; ; , ; c_ij – коэффициенты упругих элементов c_j-1, отнесенных к соответствующим массам m_i-1, ; – вектор искомых перемещений масс на рисунке 1; – вектор виброускорений нагрузочного режима, а₁ = /m₁ , а_n = /m_n; и – гармонические силы, являющиеся внешними, приложены к первому и последнему осцилляторам.

Характеристическое уравнение примет вид

, (4)

если парциальные частоты всех n линейных осцилляторов одинаковы , и . Тогда общие решения многоэлементной динамической задачи (1)-(3) приводятся к следующим колебательным режимам:

(5)

(6)

где l₁=w₁, . Неопределенные коэффициенты соответствующих решений находятся по методике, развитой в [3], аналитические формулы для которых сведены в таблицу 1.

Таблица 1

N	Коэффициенты перемещения балки x(t)	Коэффициенты перемещений автономных осцилляторов xj(t),
1	2	3
1
2
3
4
5
	U2 = 0
6	W1 = 0

Если положить n=2, с₁₂=с₁₃, a₁=a_n=0 и выбрать в качестве начальных условий a₁=g , a₂=d, то получаются аналитические формулы решений, полностью совпадающие с перемещениями в [5].

В качестве примера рассмотрим механизм с произвольными физическими параметрами: n = 4, M = 20.0 кг, m₁=m₂=m₃=m₄= 2.0 кг, c₁=c₂=c₃=c₄= 55.0н/м,
a₁=0.008 м, a₂ = -0.01 м, a₃ = 0.002 м, a₄ = -0.007 м, g₁ = 40p рад/с, g_N = 3.6p рад/с,
F₁ = 1.2 н, F_N = 11.5 н, a₁=F₁/m₁= 0.6 м/с², a_N = F_N/m_N = 5.75 м/с², w= 3.3166 рад/с,
w₁ = 5.244 рад/с, l₁= 5.244 рад/с, l₂ = 6.2048 рад/с, z₁=z_N= 2.75(рад/с)². Перемещения представлены на графиках рисунка 2 по формулам (5), (6) и таблицы 1

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

а)

б)

в)

Рисунок 2 - Аналитические графики перемещений x_j(t), j = на а и б; численный расчет общей динамической задачи с разными начальными условиями a_j на б

Численная реализация задачи (1)-(3) на рисунке 2 в наглядно демонстрирует приблизительный характер вычислений, достаточно грубое округление величин, при этом счет обрывается на параметре времени t=18 c. Точный расчет является убедительно доказательным, позволяющим получить явные законы колебаний осцилляторов, подвешенных на одной балке. Подтверждением истинности представленных результатов (7)-(11) могут служить начальные условия. На рисунке
2 а, б наблюдается небольшое рассогласование по фазам колебаний гармонических осцилляторов и заметное отличие по амплитудам. В этом случае движения элементов с массами m₁, m₂, m₃ являются «почти синхронными». Общий вид графиков, линейно смещающихся вниз вместе с подвесом массой М в соответствии с выбранной системой координат на рисунке 1, пропорционален параметру времени t и вполне согласуется с поставленной задачей о колебаниях многоэлементной динамической системы на одной неупругой балке с жесткой заделкой. Более синхронизированной данная система станет, если в формулах таблицы 1 положить все начальные условия a_j, j = одинаковыми. Например, a_j=0.005м, j=, n=4, M=20.0 кг, m₁=m₂=m₃=m₄= 2.0 кг, c₁=c₂=c₃=c₄= 55.0 н/м, g₁= 40p рад/с, g_N=3.6pрад/с, F₁= 1.2 н, F_N = 11.5 н, a₁=F₁/m₁= 0.6 м/с², a_N =F_N/m_N = 5.75 м/с², w=3.3166 рад/с, w₁= 5.244 рад/с, l₁= 5.244 рад/с, l₂= 6.2048 рад/с, z₁=z_N=2.75(рад/с)². Перемещения x(t), x₁(t), x₂(t), x₃(t), x₄(t) отображены в виде графиков на рисунке 3

а)

б)

Рисунок 3 - Аналитические графики перемещений x_j(t), j = на а; численный расчет общей динамической задачи с одинаковыми начальными a_j условиями на б

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Аналитические формулы перемещений (14) и (15) достоверно показывают, что синхронными будут колебания внутренних элементов механической системы с одинаковыми отклонениями масс m _j в начальный момент времени a_j = a₀, j = , поскольку два колебательных режима x₂(t) и x₃(t) полностью совпали. Это очевидно проиллюстрировано на рисунке 3 а, б.

Выводы. На основе развитой авторами методики [3-5] решения динамических задач многоэлементных механических систем со специальными нагрузочными режимами получены аналитические формулы колебаний произвольного числа n линейных осцилляторов на общей жесткой связи. Учет влияния последней приводит к появлению слагаемых вида А₁₂t и в решениях (5), (6) поставленной задачи (1)-(3), что является отрицательным фактором и противоречит физической сути рассматриваемого явления, несмотря на малость коэффициентов. Тем не менее, синхронными будут колебания внутренних n-2 элементов из n автономных осцилляторов с одинаковыми отклонениями масс m_j (j = ) в начальный момент времени.

Литература

1. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике.- М.: Наука, 1981. -352 с.

2. Пиковский A.C., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление.- М.: Техносфера, 2003. - 494 с.

3. Dokukova N. A. and Konon P. N. General laws governing in mechanical vibratory systems// JEPT, 2006, V. 79, N. 4, P. 824-831, Pub. Springer New York, ISSN: 1062-0125.

4. Dokukova N. A., Martynenko M. D. and Kaftaikina E. N. Nonlinear vibrations of hydraulic shock absorbers// JEPT, 2008, V. 81, N. 6, P. 1197-1200, Springer NY.

5. Dokukova N.A., Kaftaikina E.N.: The synchronization of two linear oscillators// Materialy VII miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji. Przemysl, Polska. 7-15 listopada 2012 r. Przemysl: Nauka i studia, V. 18, P. 28 – 35.