Чиркова
Л.Н., к.п.н.
Вятский
Государственный Университет, Россия
Понятие
верхнего и нижнего пределов функций
Определим понятия верхнего и нижнего
пределов функции f(x).
Пусть точка x0 –
предельная точка области определения 
функции f(x).
Определение. Число а
– верхний предел функции
f(x)
при
(обозначается символом
), если выполняются следующие условия:
1) 
: 
и 
;
2) 
, 
, 
: 
.
Если в любой проколотой окрестности точки x0 функция принимает как
угодно большие положительные (отрицательные) значения, то по определению
полагаем: 
(
).
Определение. Число а
– нижний предел функции f(x) при (обозначается как 
), если выполняются следующие условия:
1) : и 
;
2) , , : 
.
Если в любой проколотой окрестности точки x0 функция принимает как
угодно большие отрицательные (положительные) значения, то по определению
полагаем 
(
).
Рассмотрим множество
значений {f(x)} функции f(x) на 
. Рассмотрим 
. При уменьшении 
эта величина является невозрастающей
функцией от (ограниченной или неограниченной снизу), и, следовательно, существует
(конечный, если
функция ограничена снизу, или бесконечный в противном случае). Тогда сформулируем
определение верхнего предела в терминах точной верхней грани: предел называют верхним пределом функции f(x) при , т.е. 
. Аналогично, предел 
называют нижним пределом функции f(x) при .
Известно, что 
не существует. Найдем
верхний и нижний пределы функции 
при 
:
; 
.
Для функции 
верхний и нижний
пределы при есть:
; 
.
Функция 
имеет верхний и нижний
пределы при 
, при этом они равны:
; 
.
Введем определения
верхнего и нижнего пределов функции при , используя понятие частичного предела функции в точке x0: если 
, 
, 
, то у называется частичным пределом функции в точке 
.
Определение.
Наибольший из всех частичных пределов функции f(х) при назовем верхним пределом функции f(х), наименьший из всех частичных
пределов функции f(х) при называется нижним пределом функции f(х).
Например, 0 – частичный
предел функции 
в точке x0=0, так как при 
последовательность 
. Но при 
последовательность 
при 
стремится к 1, и 
для всех 
, то верхний предел 
равен 1.
, поскольку наименьший из всех частичных пределов получается
при 
, так как 
, и 
для всех .
Существуют и другие
определения понятий верхнего и нижнего пределов функции в данной точке [1, с.33-35].
В цитируемом источнике показано, что все определения верхнего (нижнего) предела
эквивалентны между собой.
Введем понятия верхней
и нижней бесконечно малых функций в точке x0:
функция 
называется верхней бесконечно малой в точке x0, если 
, и нижней бесконечно
малой в точке x0, если
.
Например,
функция 
является верхней
бесконечно малой при , так как 
, функция 
является нижней
бесконечно малой при , так как 
.
Литература:
1.
Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста
выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.