Вржащ Е.Э.

Иркутский государственный аграрный университет им. А.А. Ежевского

Решение уравнения диффузии при нитроцементации стали с учетом взаимодействия внедренных элементов

 

Математическое описание диффузионных процессов, в том числе многокомпонентных, обычно основано на решении уравнения диффузии (уравнения Фика) при соответствующих краевых условиях.

Для процесса нитроцементации априори считается, что раз диффузия насыщающих элементов осуществляется по механизму внедрения, то с математической точки зрения можно процесс нитроцементации  рассматривать как сумму двух отдельных процессов (цементации и азотирования), т.е. решать уравнение диффузии отдельно для углерода и азота без учета их возможного взаимодействия [1]. С другой стороны, в этой же монографии подчеркивается, что углерод и азот оказывают друг на друга влияние (термодинамическое, химическое и др.). Но степень этого влияния до сих пор количественно не определялась. Поэтому было интересно применительно к нитроцементации более общую диффузионную задачу, учитывающую взаимодействие внедряемых элементов, и количественно определить величину этого взаимодействия.

В этом случае надо решить систему дифференциальных уравнений, которой коэффициент диффузии должен иметь матричную форму:


                           (1)

                                    

где:

 

 С1, С2 – концентрация соответственно углерода и азота в зависимости от глубины слоя (х) и времени процесса (t);

D12 – коэффициент диффузии углерода под действием градиента концентрации азота;

D21 - коэффициент диффузии азота под действием градиента концентрации углерода;

D11 - коэффициент диффузии углерода под действием собственного градиента концентрации;

D22 - коэффициент диффузии азота под действием собственного градиента концентрации.

Решение системы дифференциальных уравнений (1) выполнялось операционным, применив преобразование Лапласа-Карсона (Хевисайда) по времени t [2], при следующих краевых условиях задачи:

C1 (x, 0) = ; C1 (0, t) = ; C1 () =;

                              C2 (x, 0) = 0; C2 (0, t) = C2 (

при x , t , где 

 – исходная концентрация компонента в образце;

 – концентрация компонента на поверхности раздела металл – газ

(1 – углерод, 2 – азот).

Ci (x, p) = p (x, t)dt (i=1,2),

где p – комплексный параметр.

  p – pC1 (x, 0) = p( - ),

 ∹ p – pC2 (x, 0) = p .

Тогда решение системы уравнений (1) с учетом краевых условий задачи будет в (x, p) – пространстве иметь вид:

pp + D11  + D12  ,

                                                                                   (2)

pD21  + D22  .   

 (0, p) = p (0, t)dt =

Находим частные решения системы (2) в виде

                               Ci = Kierx, где r =                                                           ( 3)

Тогда, подставляя (3) в (2), получим выражение

K1D11r2erx + K2D12 r2erx = p(K1 erx - )

K1D21r2erx + K2D22 r2erx = pK2 erx                                                             (4)

Система (4) будет иметь решение, отличное от нулевого, если ее определитель равен нулю, т.е.:

  D11r2 – p      D12r2                   

  D21r2            D22r2 - p     = 0  или,

 

используя выражение (3),

  D11l2 – 1      D12l2                     

  D21l2            D22l2 - 1      = 0                                                                         (5)

Раскрывая определитель (5), получим:

(D11D22 – D12D21)l4 – (D11 + D22)l2 + 1 = 0                                                     (6)  

 =  =

= 

Значение l будет действительным при условии l2  0, т.е. необходимыми условиями для «действительности» l будут:

1)   (D11 – D22)2 – 4D12D21  0

2)   

3)    

В нашем случае необходимым условиям п.2,3 удовлетворяют только отрицательные корни уравнения (6), т.е.

l1 = -

l2 = -

Тогда система (4) будет иметь вид (для l1):

 

(D11 – 1) + D12  = -

D21 + (D22 – 1) = 0                                                                            (7)

Система (7) имеет решение, отличное от нулевого, если ее определитель равен нулю. Следовательно:              

= -

Таким образом, частное решение системы (1) будет иметь вид

 (x, p) =  

 (x, p) = -                                                                     (8)

Проводя аналогичное преобразование для l2, получим

  (x, p) =  

 (x, p) = -                                                                    (9)

В частных решениях (8), (9) произвольные постоянные  и  можно положить равными единице (нормировать их).

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнений есть линейная комбинация частных. 

В нашем случае общее решение системы (2) будет иметь вид:

p  (x, p) = p + A1 (x, p) + A2 (x, p)

p  (x, p) = A1 (x, p) + A2 (x, p),

где А1 и А2 – произвольные постоянные множители, не равные нулю.

Используя краевые условия задачи в (x, p) – пространстве, получаем:

A1 + A2 = p( -

- A1 – A2 = p                                                                  (10)

 

 

 

 

 


                 1                        1

∆ =                     = D21   , т.к.

 

  

     

            p( -              1

∆1 =                                                   = - p 

          p                 -

 

               1                 p( -              

∆2 =                                                   = - p

    p

    

A1 =  = - p

A2 =  =  p

Итак, общее решение системы уравнений (9) будет иметь вид:

 (x, p) =  -    +

                  +                     

  (x, p) =     -

                  -   

Для получения окончательного решения необходимо перейти в исходное пространство функций – (x, t) пространство. Для этого необходимо выполнить преобразование  (x, p) ∹ Ci (x, t) при помощи таблиц оригиналов и их изображений [3].

Таким образом, решение системы уравнений (1) будет иметь вид:

 

 

 

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

 

  где erfc η =1 - erf η и erf η = )dz – интеграл вероятности.

В монографии [4] на основании формулы (11) приведена оценка диагональных и недиагональных коэффициентов диффузии углерода и азота при нитроцементации стали в электростатическом поле и показано, что взаимодействие внедренных элементов незначительно и для данного технологического процесса решение уравнение диффузии может быть стандартным [5].

Литература

1.  Прженосил Б. Нитроцементация. Пер. с чешск. «Машиностроение», Л., 1969.

2.  Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», М., 1973.

3.  Диткин Б.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. «Высшая школа», М., 1973.

4.  Вржащ Е. Высокотемпературная нитроцементация в электростатическом поле. LAP Lambert. Düsseldorf 2017.

5.  Бокштейн Б.С. Задачи по диффузии в металлах. МИСиС, М., 1969.