Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Об одной интегрируемой (2+1)-мерной спиновой модели с самосогласованными потенциалами

 

В работе  изучена интегрируемая спиновая система в (2+1)-размерностях путем введения взаимодействия спиновых полей с более чем одним скалярным или векторным потенциалом. (2+1)-мерная модель получена путем обобщения спиновой системы с потенциалом в (1+1)-размерности.

Рассмотрим уравнение Мырзакулова- Лакшманана-II (вкратце уравнения MЛ-II), которое имеет вид

                                                              (1)

Здесь  и , - матрицы Паули,   и  - постоянный параметр. Вектор  можно рассматривать как потенциальный вектор. Уравнение MЛ-II интегрируемо.

Заметим, что если предполагать W=0, тогда уравнене МЛ-II  редуцируется к уравнению M-I. Если рассмотреть случай y=x, тогда уравнение МЛ-II преобразуется к следующему уравнению M-XCIX  [2, 3]

                                                                      (2)

Таким образом, уравнение MЛ-II является одним из (2+1)-мерных интегрируемых обобщений уравнения M-XCIX (2). Мы также ожидаем, что последнее уравнение допускает другие интегрируемые редукции в (2+1) измерений. Приведенные выше все редукции интегрируются через МОЗР

Уравнение МЛ-II (1) интегрируется с помощью МОЗР. Соответствующее лаксовое представление для уравнения МЛ-II можем написать в следующем виде

                                                                                         

Здесь  матричные операторы  U  и V, соответственно, имеют формы

                                                                             

где

                                                                           

Далее для удобства будем работать векторной формой уравнения МЛ-II в виде

                                                                        

Предположим, что

                                             

Тогда

                                                          (3)

                                                                             (4)

 

Следует отметить, что из уравнений (3) и (4) следует ограничение

                                                               

Подставляя выражения для  и  в условие совместимости уравнения (1), придем к системе

                                    (5)

Из последних трех уравнений системы также получим, что 

                                                                 

Теперь введем три новые действительные функции

                                                             

где . Тогда эти функции подчиняются следующим уравнениям:

                                                      (6)

Из уравнений (5) и (6), наконец получим систему

                                                     

где . Теперь введем комплексные функции

                                                     

где . Тогда очевидно, что функции   удовлетворяют уравнениям  [3]

                                                                                     

Это есть уравнение ШМБ. Напомним, что 

                                                   

Таким образом, уравнение МЛ-II является геометрическим эквивалентом уравнения ШМБ.

В данной работе рассмотрен конкретный случай (2+1) - мерной интегрируемой спиновой системы, которую обозначили как уравнения Мырзакулова-Лакшманана-II, где дополнительные скалярные или векторные потенциалы взаимодействуют специальным путем со спиновыми полями. Через соответствующие калибровочные или геометрические эквивалентности мы определили эквивалентное семейство (2+1)-мерное нелинейное уравнение Шредингера вместе с их парами Лакса. Эти уравнения, в свою очередь охватывают широкий класс интересных (2+1)-мерных семейств НУШ.

 

Литература

1.Myrzakulov R. On some integrable and nonintegrable soliton equations of magnets I-IV. - 1987. – Preprint HEPI.

2.Myrzakulov R., Nugmanova G., Syzdykova R. Gauge equivalence between (2+1) - dimensional continuous Heisenberg ferromagnetic models and nonlinear Schrödinger-type equations // Journal of Physics A: Mathematical & Theoretical. – 1998. - Vol. 31, № 47. - P. 9535-9545.

3.Myrzakulov R., Mamyrbekova G.K., Nugmanova G.N., Lakshmanan M. Integrable (2+1)-dimensional spin models with self-consistent potentials, [arXiv:1305.0098]