О РАВНОМЕРНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

К.ф.-м.н., доцент Нечипоренко Н.А., к.т.н., доцент Коротунова Е.В.

Запорожский национальный технический университет, Украина

Эмпирический анализ большого числа природных, технико-экономических и социокультурных процессов показал, что динамика их роста и развития подчиняется логистическому закону, то есть описывается неубывающими функциями, имеющими одну точку перегиба. Поэтому построение по экспериментальным данным оптимальных алгоритмов восстановления S-образных функций является актуальной задачей.

Пусть функция , принадлежащая некоторому классу определенных на функций, задана своими приближенными значениями , в узлах произвольной фиксированной сетки . Требуется восстановить эту функцию.

В качестве восстанавливающей принимается функция , которая принадлежит классу и удовлетворяет условию:

,

.

Пусть – класс функций и удовлетворяет условию , . Так как функция , являющаяся решением поставленной задачи, принадлежит классу , то при условии ограниченности этого класса, восстановление функцией является оптимальным по порядку точности в классе с константой порядка, не превосходящей два.

В качестве рассмотрены следующие классы функций:

- , – класс непрерывных функций , , минимальное число интервалов выпуклости которых на не превосходит ;

- , – класс непрерывных функций и неубывающих на .

Отметим, что имеющиеся экспериментальные данные , о функции , как правило, не соответствуют имеющейся априорной информации о геометрических свойствах функции .

Разработаны алгоритмы восстановления таблично заданной функции для каждого из указанных классов , которые могут быть использованы при обработке экспериментальных данных. Эти алгоритмы позволяют не только сохранить изогеометрические свойства восстанавливаемой функции , но и, как показывают результаты численных экспериментов, достичь достаточно высокой точности восстановления. Восстанавливающая функция является непрерывной ломаной линией. Однако отметим, что используя значения , , , можно построить гладкую интерполяционную функцию с требуемыми геометрическими свойствами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола – М.: Наука, 1983. – 200 с.

2. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов – М.: Физматлит, 2006. – 360 с.

3. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений / А.И. Гребенников – М.: Изд-во МГУ, 1983. – 206 с.

4. Мирошниченко B.JI. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса С / В.Л. Мирошниченко // Приближение сплайнами. – Новосибирск. 1990. – Вып. 137: Вычислительные системы, – С.31-40.

5. Воскобойников Ю.Е. Дескриптивные сглаживающие сплайны и алгоритмы их построения / Ю.Е. Воскобойников // Моделирование в механике. Сб. научных трудов. Новосибирск, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, т.5, №5, 1991. – С.30-37.