История/3. История науки и техники

Захарова О.А.,Жангазинова Д.М.,Тусупова А.Ж.

Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова, Казахстан

Геометрические исследования К.Ф.Гаусса

Знаменитое имя Карла Фридриха Гаусса (1777–-1855 ) лауреата медали Копли, члена Шведской и Российской Академий наук, английского Королевского общества, великого немецкого ученого широко известно в науке [1]. В 19 лет он решил одну из древних задач математики – проблему построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. В молодости К.Ф. Гаусс, достигает виртуозности в технике вычислений, составляет большие таблицы простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, и далее, в течение всей своей научной работы, он проводит блестящие научные исследования в различных областях: алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, механике, астрономии, физике и геодезии [2].

Многие исследования К.Ф.Гаусса остались неопубликованными в виде незаконченных работ, переписки с друзьями и входят в его научное наследие. Вплоть до второй мировой войны оно тщательно разрабатывалось Геттингенским учёным обществом, которое издало двенадцать томов сочинений Гаусса. Интересными в этом наследии являются дневник Гаусса, материалы по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Дневник содержит 146 записей, относящихся к периоду от 30 марта 1796 года, когда Гаусс отметил открытие построения правильного 17-угольника, по 9 июля 1814. Эти записи дают картину творчества Гаусса о первой половине его научной деятельности; они очень кратки, написаны на латинском языке и излагают сущность открытых теорем [3].

Остановимся на важнейших достижениях великого ученого в области геометрии. При составлении детальной карты Ганноверского королевства, в 1820 –1830 годах Гаусс создал высшую геодезию, основы которой он изложил в сочинении "Исследования о предметах высшей геодезии" (1842–1847). Так как геодезические съемки требовали усовершенствования оптической сигнализации, то с этой целью он изобрел специальный прибор-гелиотроп. Изучение формы земной поверхности потребовало общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые им в этой области идеи изложены в сочинении "Общие исследования о кривых поверхностях" (1828). Теория поверхностей содержит новую теорему о том, что гауссова кривизна (произведение кривизны главных нормальных сечений) не изменяется при изгибаниях поверхности, то есть характеризует ее внутреннее свойство. В этой же работе, К.Ф.Гаусс ввел криволинейные координаты произвольного вида, которые позже назвали «гауссовыми координатами», доказал теорему Гаусса – Бонне для геодезического многоугольника, определил полную кривизну в точке поверхности. Труды К.Ф.Гаусса по дифференциальной геометрии дали мощный толчок развитию этой науки на весь девятнадцатый век [4]. В дальнейшем, созданная внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для создания n-мерной римановой геометрии. В записях К.Ф.Гаусса были обнаружены содержательные заметки по новой математической дисциплине, позже названной «топологией», причём он предсказал фундаментальное значение этого предмета в будущей науке. Широко известна заслуга К.Ф.Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел, его астрономические труды, относящиеся к 1800-1820 годам также значительны. Он вычислил орбиту малой планеты Цереры, занимался теорией возмущений, написал книге "Теория движения небесных тел" (1809), в которой содержатся положения, до сих пор лежащие в основе вычисления планетных орбит. В астрономии ученый, в первую очередь, интересовался небесной механикой, изучал орбиты малых планет и их возмущения. Он предложил теорию учёта возмущений и неоднократно доказывал на практике её эффективность и нашёл способ определения элементов орбиты по трём полным наблюдениям, если для трёх измерений известны время, прямое восхождение и склонение [5].

Материалы, относящиеся к неевклидовой геометрии, обнаруживают, что К.Ф.Гаусс еще в 1818 году пришёл к мысли о возможности построения наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой, но опасение, что эти идеи не будут поняты, было причиной того, что К.Ф.Гаусс их не разрабатывал и не опубликовывал. Более того, он категорически запрещал опубликовывать их тем, кого посвящал в свои взгляды о новой геометрии, вероятно из-за того, что они шли вразрез с Евклидовой геометрией. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу: «Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой» [6]. Обычно говорят, что он боялся быть непонятым, но возможно и другое объяснение молчания Гаусса. Он, как один из немногих математиков понимал, что в то время еще не найдены математические понятия, позволяющие точно поставить и решить этот вопрос. [7]. Когда же вне всякого отношения к попыткам К.Ф.Гаусса неевклидова геометрия была построена и опубликована Н.И. Лобачевским, К.Ф.Гаусс отнёсся к публикациям Н.И. Лобачевского с большим вниманием, был инициатором избрания его членом - корреспондентом Гёттингенского учёного общества. Сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, в котором ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах, опубликованных после его смерти, Гаусс восхищается работами Лобачевского[8].

К.Ф.Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с несколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura» (немного, но спелые). [2]. Изучение архива К.Ф. Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий и в результате его опередили другие математики. Архивы Гаусса содержат многочисленные материалы по теории эллиптических функций и их теорию, однако, заслуга самостоятельной разработки и публикации теории эллиптических функций принадлежит Якоби и Абелю. Содержательный набросок теории кватернионов, которые двадцать лет спустя независимо открыл Гамильтон, также обнаружен в неопубликованных работах Гаусса. К.Ф.Гаусс долгое время плодотворно преподавал математику в Гёттингенском университете, его студенты: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус продолжили и развили труды учителя, став выдающимися математиками [9].

Литература:

1. Белл Э. Т.  Творцы математики. – М.: Просвещение, 1979. – 256 с.

2. Храмов Ю. А. Гаусс Карл Фридрих (Gauss Karl) // Физики: Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. – Изд. 2-е, испр. и дополн. – М.: Наука, 1983.  – 400 с.

3. C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.

4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.. – М.: Наука. –1990.

5. Бюлер В. . Гаусс. Биографическое исследование. – М.: Наука, 1989. – 208 с. 

6. Гаусс К. Ф. Отрывки из писем и черновиков, относящиеся к неевклидовой геометрии // Основания геометрии. – М.: ГИТТЛ, 1956.

7. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII, пар. 2, – Физматлит, Москва, 2009.

8. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. – М.: Гостехиздат, 1956. – С. 103.

9. Боголюбов А. Н. . Математики. Механики. Биографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983. – 639 с.