Д.Б. Алибиев, А.Ш.
Кажикенова
Карагандинский государственный университет
им. Е.А. Букетова
Итерационный метод в
методе фиктивных областей для уравнения Навье - Стокса в переменных функции
тока и вихрь скорости в многосвязной области
Практика использования методов математического моделирования различных физических процессов стимулировала теоретические исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, важное место среди которых занимают модели механики сплошной среды, физика плазмы и др. Ввиду нелинейности и многомерности моделей механики сплошной среды аналитические методы исследования не позволяют в общем случае получить полных решений задач. Одним из основных методов, позволяющих как проводить теоретические исследования самих моделей, так и применять их к решению практически важных задач, являются численные методы.
Многомерность таких задач выдвигает, в число главных, проблему построения и исследования экономичных численных алгоритмов, одним из основных приёмов построения которых является метод расщепления дифференциальных уравнений. Исследованиям корректности смешанных задач для уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости посвящено достаточно большое количество работ. Тем не менее, изучению корректности разностных схем в переменных "функция тока - вихрь скоростей" уделено очень мало работ.
Мы исследовали сходимость итерационного метода типа дробных шагов в переменных функции тока и вихря скорости и показали корректность разностной схемы для бигармонического уравнения с краевыми условиями Полежаева. Кроме того, численно реализована в переменных функции тока и вихря скоростей одна неклассическая краевая задача для уравнения вязкой несжимаемой жидкости.
Основным способом для численного решения уравнения Навье - Стокса являются естественные переменные "поле скоростей - давление" и "функции тока - вихрь скорости". Основным методом является метод энергетического тождества. Здесь построена разностная схема с малым параметром. Схема сходится при определенных условиях: определенном e и шагах сетки ԏ,h.
Разностные схемы дробных шагов применялись также для решения двухмерной нестационарной задачи. При расчётах было найдено достаточное условие
устойчивости схемы: 
Схема расщепления для трехмерного уравнения Навье-Стокса более менее с практически реализуемыми условиями исследованы в работах Кузнецова Б.Г, Данаева Н.Т, Жумагулова Б.Т, Смагулова Ш. [1].
Стационарное уравнение Навье - Стокса в переменных функции тока и вихря скоростей в многосвязной области сводится к решению уравнения
где 
- границы области 
, 
- касательная производной по . Задачу (58) решим методом
фиктивных областей
(1)
с условием согласования на
(2)
- означает приближенное
значение внутри и извне границы 
.
Теперь рассмотрим разностную схему для (1), (2):
(3)
Рассмотрим итерационный метод для (3):
(4)
где оператор В (х) - определен так как в (2).
Данный итерационный процесс сходится. Имеет место оценка
и 
Литература
1. Кузнецов Б.Г., Данаев Н.Т., Жумагулов Б.Т., Смагулов Ш. Исследование сходимости экономичных конечно-разностных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных (u,v,p). //Моделирование в механике. - Новосибирск, 1992, т.6 (23), № 2. с.25-27.
3. Вабищевич П.Н. Реализация краевых условий при решении уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь скорости". Численные методы механики сплошной среды, 1985. - т.16, № 6. - C.9-27.