Лагодіна Л.П.

Київська державна академія водного транспорту

імені гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного, Україна

Аналіз існуючих технологій моделювання об’єктів із застосуванням поліноміальної апроксимації

У нинішніх умовах стрімкого розвитку комп'ютерних технологій удосконалення геометричного ядра автоматизованої системи проектування істотно дозволяє оптимізувати роботу зі складними геометричними побудовами, де суттєву роль відіграє механізм проектування гладких кривих, поверхонь, криволінійних обводів. Спектр наукових розробок постійно розширюється, зважаючи на їх затребуваність в машинобудуванні, в авіаційній промисловості, автомобільній індустрії і проектуванні доріг. Поглиблення теоретичних основ геометричного моделювання дозволяє більш ефективно вирішувати прикладні проблеми з використанням інформаційних технологій.

Умова гладкості і неперервності, відсутність осциляцій кривої, що моделюється, гладкості стиковки порцій поверхонь, що межують, передбачає додаткові вимоги до роботи математичного апарату.

При моделюванні криволінійного обводу для дискретно-поданого каркаса вхідних даних широкого застосування набули методи наближення поліномами.

Значущий внесок в теорію наближення функцій поліномами були зроблені відомими ученими І. Ньютоном, П.Л. Чебишевим, К. Вейєрштрасом, С.Н. Бернштейном та ін.

Графіки поліномів описують величезну різноманітність кривих на площині. Таким чином, перелік об'єктів, який може бути представлений поліномами, достатньо великий, а поліноміальні перетворення широко використовуються на практиці, зокрема, для наближеного представлення інших функцій. Крім того, можливі раціональні поліноміальні вирази у вигляді відношення поліномів.

Велика перевага у використанні поліномів полягає в тому, що вони дають одноманітне представлення багатьох залежностей і для свого обчислення вимагають тільки арифметичні операції (їх кількість значно скорочується при використанні добре відомої схеми Горнера). Похідні від поліномів та інтеграли з підінтегральними функціями-поліномами легко обчислюються і мають простий вигляд.

Певні досягнення в геометричному моделюванні кривих та поверхонь спонукають сучасних вчених до розробки нових способів і методів, які б набули значного практичного використання для виконання складного формоутворення.

Окремі роботи дослідника Деніскіна Ю.І. присвячені методам геометричного моделювання суцільних тіл та конструювання і керування формою двовимірних обводів. Автором в статті [1] запропоновано алгоритми керування порядком кривих Безьє – алгоритм підвищення порядку кривих та алгоритм пониження порядку кривих. Для роботи першого алгоритму обрано криву Безьє n-го порядку, що визначена за допомогою поліномів Бернштейна. Автором розглядаються методи конструювання і локальної модифікації замкнутих параметричних обводів 2-го порядку гладкості, що сформовані з кривих Безьє.

Науковцями Бадаєвим Ю.І., Аушевою Н.М. в роботі [2] представлено метод склеювання чотирикутних порцій поверхонь Безьє з першим порядком гладкості для випадку колінеарності та компланарності ребер характеристичних чотирикутників на межі двох порцій. Подальші дослідження авторів були спрямовані на моделювання поверхонь із забезпеченням 2-го порядку гладкості та побудову базових чотирикутних порцій поверхонь за допомогою кривих Безьє 3-го порядку.

Дослідженням із використанням кривих Безьє присвячено декілька робіт Шепель В.П.. В статті [3] автор описує методи визначення геометричних параметрів квадратичних парабол, які мають форму представлення даних у вигляді характеристичної ламаної поліноміальної кривої за методом Безьє-Бернштейна у застосуванні геометричних моделей на базі чотирикутників. Вченим окремо отримано результати дослідження щодо моделювання поліноміальних кривих 3-го порядку, визначення їх геометричних параметрів, запропоновано узагальнений підхід до моделювання кубічних кривих Безьє у вигляді сітки ліній, що спроектована методом Кунса.

Для побудови плоских обводів у літакобудуванні, крім кривих 2-го та 3-го порядку, широко застосовуються різноманітні математичні залежності: поліноміальні функції, степеневі рівняння, сплайни та інші.

При моделюванні та технологічному відтворенні літальних апаратів виникає необхідність застосування нових, більш зручних методів побудови поліноміальних кривих, за якими створюються обводи виробів. При розробці таких методів доцільно використовувати відомі моделі на базі кривих Безьє, В-сплайнів, кривих ліній і поверхонь 2-го порядку та інші.

Досвідченими науковцями Ваніним І.В. та Вірченком Г.А. в роботах [4, 5] детально висвітлені методологічні основи геометричного моделювання аеродинамічних профілів, що забезпечують 2-ий порядок гладкості складних плоских обводів. Авторами представлено математичний апарат, який одночасно поєднує в собі простоту та передбачуваність формоутворення складних плоских обводів кривими Безьє 3-го порядку.

З метою розширення кола нових можливостей при конструюванні поверхонь Конопацьким Є.В. в роботі [6] запропоновано математичний апарат одержання точкового рівняння особливого класу дуг обводів кривих 3-го порядку на основі застосування методу побудови перерізів площиною конуса з основою кривої Безьє. Автор акцентує, що дуги особливого класу більш гнучкі, ніж дуги обводів кривих 2-го порядку, тому їх використання на практиці значно покращить результати конструювання складних криволінійних об’єктів.

Слід зазначити, що зважаючи на значні досягнення науковців щодо застосування поліномів в якості апроксимуючих чи інтерполюючих функцій для виконання складного формоутворення об’єктів, існують недоліки, які свідчать про те, що поліноми нерідко мають дійсні нулі, а це обумовлює появу небажаних осциляцій, тобто неадекватність до заданого точкового каркасу. Це підтверджується великою кількістю проведених обчислень та комп’ютерною візуалізацією досліджень.

Литература:

1. Денискин Ю.И. Об алгоритмах управления формой кривых в задачах твердотельного моделирования [Текст] / Ю.И. Денискин // Сучасні проблеми геометричного моделювання: міжнар. наук.-практ. конф.: зб. праць. – Х.: ХІБП МВС України, 1998. – Ч. 4. – С. 129-132.

2. Бадаєв Ю.І. Метод склеювання чотирикутних порцій Без’є [Текст] / Ю.І. Бадаєв, Н.М. Аушева // Труды Таврической государственной агротехнической академии. – Вып. 4 : Прикладная геометрия и инженерная графика. – Мелитополь: ТГАТА, 1999. – Т. 7. – С. 37-40.

3. Шепель В.П. Побудова квадратичних парабол із застосуванням моделей на базі чотирикутників [Текст] / В.П. Шепель // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. – Вип. 4 : Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2006. – Т. 32. – С. 64-69.

4. Ванін І.В. Геометричне моделювання аеродинамічних профілів кривими Безьє третього порядку [Текст] / І.В. Ванін, Г.А. Вірченко // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. – Вип. 4 : Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2004. – Т. 26 – С. 91-95.

5. Вірченко Г.А. Проектування плоских обводів з використанням кривих Без’є третього порядку [Текст] / Г.А. Вірченко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2003. – Вип. 72. – С. 119-123.

6. Конопацький Є.В. Конструювання дуг обводу з кривих третього порядку чотирикутників [Текст] / Є.В. Конопацький // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. – Вип. 4 : Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2006. – Т. 32. – С. 172-131.