Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння

 

К.ф.-м.н.  Казмерчук А.І.

 

ДВНЗ “Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника”

 

Наближення параболічними системами рівнянь вищих  порядків систем квазілінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку

 

Розглянемо задачу Коші для системи квазілінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку                

                                                           (1)                       

                                                   (2)        

де  , , ,  . На даний момент ця задача в загальному випадку не має теорії розв’язності, оскільки навіть принцип максимуму залишається не виконаним. Водночас в одному з підходів до правильного введення узагальненого розв’язку є питання обгрунтування наближених методів. В даній роботі ми розглядаємо апроксимації задачі (1), (2), які будуються як розв’язки наступної системи рівнянь

                                    (3)                       

                                                (4)        

 

зі згладженою початковою функцією за допомогою середніх функцій. В цій роботі отримано оцінки збіжності розв’язків задачі (3),(4) до розв’язку задачі (1),(2) у наступному сенсі.

Означення 1  Обмежена вимірна вектор-функція        називається узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо система (1) розуміється у  сенсі розподілів, виконується ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2) приймається у слабкому сенсі.

Означення 2  При  класичний розв’язок  задачі Коші (3),(4) називається наближеним розв’язком задачі Коші (1),(2).

                               

Теорема 1 Нехай  image024. Тоді для наближеного розв’язку  виконується оцінка

 

де  - модуль неперервності в    початкової функції.

 

Теорема 2 Нехай   =0 при . Тоді для наближеного розв’язку  виконується оцінка

 

 Теорема 3 Нехай  image024. Тоді для наближеного розв’язку  і узагального розв’язку задачі (1),(2) виконується оцінка

 

 

Теорема 4 Нехай   =0  при . Тоді для наближеного розв’язку  і узагального розв’язку задачі (1),(2) виконується оцінка

 

 

Доведення теорем аналогічне до доведення тверджень в  [2]. Із теорем 3, 4 можна отримати існування узагальненого розв’язку задачі (1),(2).

       Література:

       1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm. Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.

       2. Казмерчук А.І. До обґрунтування наближених методів розв’язання квазілінійних законів збереження з негладкими даними задачі. - Вісник національного університету “Львівська політехніка”, Прикладна математика.-2000.-№411.-с.147-151