Мельник В.Н.

Национальный технический университет Украины
«КПИ имени Игоря Сикорского»

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОПЛАВКОВОГО ПОДВЕСА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ МЕРИДИАНА

Пусть подвижная часть прибора (поплавок) представляет собой оболочку вращения и в общем случае – произвольной формы. Считаем, что при акустическом воздействии энергия генерируемой вибрации боковой и торцевых поверхностей не передается на сопряженные поверхности, что позволяет предполагать их шарнирно соединенными. В этом случае допустимо изучать независимо динамику боковой поверхности (оболочки) и динамику торцевой поверхности поплавка (пластины).

В теории упругости оболочками принято именовать тела, один из размеров которых, например, толщина, намного меньше по отношению к двум остальным. Примем в качестве исходного, предположение об однородности и изотропности материала, соответствующего закону Гука. Кроме того, считаем перемещения точек поверхности существенно меньшими толщины поплавка. В этом случае возможно построение наиболее простого варианта линейной теории.

Широкое использование при технической реализации многих элементов бортовой аппаратуры РН и летательных аппаратов в целом различных типов оболочек, стимулировало развитие достаточно простых, но эффективных, методов их расчета. Известны два основных пути построения теории оболочек. Первый состоит в том, что оболочку рассматривают как трехмерное упругое тело, а решения соответствующих уравнений теории упругости осуществляется путем разложения всех величин в ряды, по степеням расстояния от рассматриваемой точки до срединной поверхности, либо по некоторой системе функций этой переменной. Помимо громоздкости, этот метод имеет и другой недостаток – до сих пор не установлена область его применимости и характер сходимости используемых рядов. Вместе с тем, в настоящее время он является наиболее точным.

Второй, приближенный, подход состоит в том, что трехмерную задачу сводят к более простой – задаче о равновесии и деформации срединной поверхности оболочки. Упрощение реализуется принятием соответствующих статико-геометрических гипотез. Этот, простейший, вариант теории основан на использовании гипотез Кирхгофа-Лява.

Построенная на базе гипотез Кирхгофа приближенная теория именуется теорией тонких оболочек, а первая – теорией толстых оболочек. Одну и ту же оболочку можно рассчитать как первым методом, так и вторым. Результаты расчета на основании приближенной теории будут тем точнее, чем меньше относительная толщина оболочки ( здесь h – толщина оболочки, R – минимальный линейный размер срединной поверхности). В настоящее время считается, что теория Кирхгофа приводит к результатам, порядок погрешности которых не превышает отношения . Таким образом, можно сформулировать критерий тонкостенности, задаваясь допустимой величиной погрешности. В.В. Новожилов, исходя из обычной для технических расчетов погрешности предложил считать оболочку тонкой если . Конечно, эта цифра носит ориентировочный характер.

Что касается изучения свойств оболочек при акустическом нагружении, а также вопросов дифракции и интерференции звуковых волн, то одной из первых следует назвать работу Л. Лямшева.

Характерной особенностью названных исследований явилось изучение бесконечных (или полубесконечных) по протяженности оболочек. Решение краевых задач динамики оболочек и пластин впервые в достаточно полном объеме выполнены В. Гринченко. Здесь обращено внимание, что основанный на приведении граничных задач к бесконечным системам уравнений метод исследований установившихся колебаний, становится эффективным лишь тогда, когда удается установить асимптотические свойства этих неизвестных (закон асимптотических выражений Б. Кояловича: то есть, с ростом номера “n” неизвестные стремятся к общему для них, и отличному от нуля, пределу). Другой асимптотический метод – метод однородных решений – получил развитие в работах П. Шиффа и В. Стеклова.

Последующие важные разработки, связанные с использованием метода Г. Ламе, принадлежат С. Калискому, который рассматривал не только специфические случаи граничных условий для цилиндра, но основное внимание уделил доказательству регулярности бесконечных систем.

Изучение колебаний замкнутой круговой цилиндрической оболочки привело к неожиданному результату. Оказалось, что наинизшим частотам соответствуют колебания сложной формы, сопровождающиеся образованием большого (безгранично увеличивающегося с уменьшением толщины) числа волн в плоскости шпангоута.

В дальнейшем, в процессе изучения колебаний оболочек вращения обнаружилось, что непостоянство радиуса кривизны срединной поверхности существенно меняет картину колебаний оболочки. Наблюдается резкое искажение форм колебаний, оболочка разделяется на колеблющиеся и почти покоящиеся части, возникают линии повышенной напряженности, а в спектре – появляются зоны сгущения частот, интенсивность которых тесно связана с величиной отклонения кривизны срединной поверхности от их средних значений. Этот факт привел к выводу, что наиболее изученные круговые цилиндрические и сферические оболочки постоянной кривизны все же не могут быть эталоном для суждений о характере колебаний оболочек произвольного очертания.

Предположим, что оболочка относится к криволинейным ортогональным координатам и . Их считаем линиями кривизны с

радиусом и .

Обозначим через А₁ и А₂ параметры Ламе срединной поверхности оболочки. Тогда, добавив силы инерции, можем воспользоваться уравнениями равновесия оболочки, которые в развернутом виде записываются следующим образом:

(1)

,

где

ибо в большинстве случаев величины m_i имеют порядок hp, так что, отождествляя q_i и p_i, тем самым отбрасываются слагаемые порядка по сравнению с единицей; Т₁ , Т₂ – нормальные, а S – касательное усилия; М₁, М₂ – изгибающие моменты; H – крутящий момент; - плотность материала оболочки; h –толщина оболочки; - упругие перемещения точек поверхности в направлении координаты .

В представленном виде уравнения (1) использовать неудобно. Поэтому следует провести над ними ряд преобразований, после которых записать в форме, приемлемой для интегрирования.