Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины
«КПИ имени Игоря Сикорского»

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

Определим все производные. Итак,

(1)

где соотношения между усилиями-моментами и компонентами деформации срединной поверхности можно записать в виде:

(2)

(3)

Здесь первые три величины - - характеризуют равномерную по толщине оболочки деформацию, определяемую растяжением и сдвигом срединной поверхности, а вторые три - - определяют линейно меняющуюся по толщине деформацию, связанную с изгибом и скручиванием срединной поверхности, - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона. В дальнейшем, первые три величины будем именовать компонентами тангенциальной деформации, а последние три - компонентами изгибной деформации.

Деформация оболочки полностью определяется заданием шести величин:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Из соотношений (2) с учетом выражений (4-5) определяем

Нормальные Т₁ , Т₂ и касательное S – усилия:

(9)

(10)

(11)

С учетом соотношений (6-8), из формулы (3) вычисляем изгибающие моменты М₁ и М₂, а также крутящий момент H:

(11)

(12)

(13)

Запишем уравнение (1) в несколько ином виде:

(14)

Раскроем содержание некоторых слагаемых выражения (14) с учетом соотношений (9-14):

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Таким образом, с учетом выражений (16 – 22), уравнение (15) можно окончательно записать в скалярном виде:

(23)