МжАТФ М-303 топ студенті Ерғали А., ж.ғ.м. Кeрвeнeв Қ.E.

Академик Е.А.Букетов атындағыҚарағанды мeмлeкeттік унивeрcитeті, Қазақcтан

Математикалық ұғымдар және ұғымды беру ережелері

Оқушыларға арналған математикалық ұғымдар түсінігін дамыту жөніндегі бағдарламаларда оқушылардың алған білімдерін жалпылау, жүйелеу, кеңейту және тереңдету қаралған. Бұл жас мөлшерінде ойлау қабілетін, ойлау дербестігін дамыту, талдау, салыстыру, қорыту секілді ойлау әрекеттерін дамытудың да маңызы зор. Бағдарламада математикалық ұғымдарды қалыптастыруға қосымша балалардың математикалық білімін кеңейтіп, математикаға деген қызығушылығын аттыру көзделген.

Математиканы оқыту жалпы оқушыларға саналы, жүйелі және баянды білім беру,ал білім ол нәрселер мен құбылыстардың елеулі белгілері және олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан тұрады. Математикалық ұғымдар – адам миында бейнеленетін ақиқат әлемнің елеулі қасиеттері, формалары және сандық қатынастары.[1]

Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселердің басқа нәрселерден әрқайсысы айырмашылығының қажетті және жекілікті белгілердің жиынын айтады.

Мәселен: ұғымының елеулі белгілері болсын, онда:

1. Егер бір жеке дара нәрседе көрсетілген белгілері болмаса, онда ол ұғымына енбейді.

2. Егер бір жеке дара нәрседе осы белгілердің бәрі бірдей болатын болса, онда ол ұғымына енеді.

Мысалы, квадраттың елеулі белгілері: Барлық бұрыштары тік; квадраттың барлық қабырғалары тең; диагональдары тең; диагональдары өзара перпендикуляр; қиылысу нүктесінде қақ бөледі.

Кез келген ұғымдардың мазмұны мен көлемі болады. Ұғымның мазмұны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің жиынтығын айтады. Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын айтады.[2]

Мысалы: «Үшбұрыш» және «Параллелограмм» ұғымын алайық. Үшбұрыштың ұғымының мазмұны – үш қабырға, үш төбе және үш бұрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбұрыштың жиыны болып табылады. Параллелограмм ұғымының мазмұны – дөңес жазық төртбұрыш, қабырғалары қос – қостан параллель, қарама – қарсы қабырғалары тең, диогональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлнеді, ал көлемі – осы белгілерге ие болатын барлық фигуралар.

Ұғымның көлемі мен мазмұны арасында белгілі бір тәуелділік бар, яғни ұғымның мазмұнындағы өзгеріс, оның көлемін де өзгеріске ұшыратады және керісінше. Егер бір ұғымның көлемі басқа ұғым көлемінің бөлігі болса, онда бірінші ұғым түрлік ұғым, ал екінші ұғым тектік ұғым деп аталады. «Тек» және «Түр» атаулары салыстырмалы сипатта ғана болады. Мәселен, «параллелограмм» ұғымы «ромб» ұғымына қарағанда тектік ұғым болады да, ал «көпбұрыш» ұғымына қарағанда түрлік ұғым болып табылады.

Ұғымдардың анықтамасын құрғанда тектен түрге көшу амалы ұғымды шектеу, ал түрден текке көшу амалын жалпылау деп атайды. Ұғымды шектегенде, оның мазмұны кеңейіп, көлемі тарылады. Ал ұғымды жалпылағанда оның мазмұны тарылып, көлемі ұлғаяды. Мәселен, «бөлшек сан», «бүтін сан», «параллнлограмм», «тік төртбұрыш», «көпжақ», «пирамида» шектеу ұғымына жатады. Ал «рационал сан», «нақты сан», «куб», «тік бұрышты параллелопипед», «теңдеу», «теңдік» жалпылау ұғымына жатады.

Ұғымдардың мазмұндарының әр алуандығына қарамастан, олардың көлемдерінің арасындағы қатынастар көп емес. Егер ұғымдардың мазмұндарында ортақ белгілер бар болса, ондай ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесімді және үйлесімсіз болып екіге бөлінеді. Үйлесімді ұғымдар деп көлемдері толық немесе ішінара беттесетін ұғымдарды айтады. Үйлесімді ұғымдардың арасында мынадай қатынастар болады: а) тепе – теңдік; ә) ішінара беттесу; б) бірін – бірі қамту.

Көлемдері толық беттесетін ұғымдар бір – бірімен тепе – тең қатынаста болады. Ал ұғымдардың өздері мәндес деп аталады. Мысалы, «тең қабырғалы үшбұрыш» және «тең бұрышты үшбұрыш» ұғымдары мәндес. Алайда ескеретін бір жай мәндес ұғымдардың көлемдері бірдей болғанымен, мазмұндары әртүрлі болады. Көлемдері ішінара беттесетін ұғымдар ішінара беттесу қатынасындағы ұғымдар деп аталады, оларды айқасатын ұғымдар деп те атайды. Мысалы, тік төртбұрыш, ромб (ортақ бөлігі - квадрат), бүтін сандар, теріс сандар (ортақ бөлігі – бүтін теріс сандар).

Егер бір ұғымның көлемі екінші ұғымның көлеміне енсе, онда ол екі ұғым қамту қатынасындағы ұғымдар деп аталады. Мәселен, жай сан – натурал сан, санның квадраты – санның дәрежесі, рационал функция – элементар функция қамту қатынасындағы ұғымдар.

Егер ұғымдардың ортақ белгілері болмаса, олар салыстырылмайтын ұғымдар деп аталады. Мәселен, үшбұрыш пен процент салыстырылмайтын ұғымдар. Сонымен бірге, ұғымдардың көлемдері мүлдем беттеспесе, олар үйлесімсіз ұғымдар деп аталады. Үйлесімсіз ұғымдар қарама–қарсы, қайшылықты және бағыныңқы ұғымдарға жіктеледі. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыш пен тең бүйірлі емес үшбұрыш ұғымдары – қарама –қарсы ұғымдар, тең бүйірлі үшбұрыш пен тең бүйірлі емес үшбұрыш ұғымдары – қайшылықты ұғымдар, ал трансцендент теңдеу ұғымына қарағанда логарифмдік және тригонометриялық теңдеу ұғымдары бағыныңқы ұғымдар болып табылады.[3]

Ұғымның анықтамасы деп қарастырылатын ұғымның мазмұнын ашуға көмектесетін амалдарды айтады. Ұғымның анықтамасын беру деп сол ұғымды бейнелейтін нәрселердің елеулі белгілерін көрсетуді айтады. Математика пәнінің логикалық желісін құрғанда тікелей анықтама беруге болмайтын ұғымдар да бар. Мұндай ұғымдар алғашқы немесе негізгі ұғымдар делінеді. Мектеп математикасында негізгі ұғымдар: «нүкте», «түзу», «жазықтық» және тағы басқалар. Ұғым анықтамасын беру ережелері төмендегідей:

1. Анықталатын ұғым мен анықтаушы ұғымның көлемдері тең, яғни, олар өлшемдес болуы тиіс. Бұл ережеде өлшемдестік талабының сақталғанын тексеру үшін анықталатын ұғым анықтауышы ұғымның белгілерін қанағаттандырмайтынына көз жеткізу қажет. Бұл үшін анықталатын ұғым мен анықтаушы ұғымының орындарын ауыстырып «кез келген» сөзін алдына жазу жеткілікті. Мысал 1. Параллель түзулер деп қиылыспайтын түзулерді айтамыз. Тексеру: кез – келген қиылыспайтын түзулер параллель түзулер деп аталады. Мысал 2. Квадрат деп барлық қабырғалары тең тік төртбұрышты айтады. Анықталушы ұғым мен анықтаушы ұғым көлемдері.

2. Анықтама «кесірлі дөңгелекті» қамтымауы тиіс. Бұл анықтамадағы анықтаушы ұғым анықталатын ұғымның көмегімен (тікелей немесе жанама түрде) анықталмауы тиіс. Мысал. «Қосу деп қосындыны табу амалын айтады», немесе, «Қосынды дегеніміз қосудың нәтижесі». Тең үшбұрыштар деп өзара тең үшбұрыштарды айтамыз.

3. Анықтама мүмкіндігінше теріс (солақай) болмауы тиіс. Мысал. “Ромб – шар емес” т.б.

Ұғымдарды бөлу ұғымның көлемін ашатын логикалық әрекет ретінде қарастырылады. Ұғымдарды бөлу дегеніміз бөлінетін ұғымға бағыныңқы барлық түрлік ұғымдарды көрсету деген сөз. Мәселен, арифметикалық бөлшек ұғымын “дұрыс” бөлшек және “бұрыс” бөлшек ұғымдарына бөлеміз. Үшбұрыш ұғымы “тік бұрышты”, “доғал бұрышты” және “сүйір бұрышты” үшбұрыш ұғымдарына бөлінеді. Көлемі бөлінетін ұғым бөлінгіш ұғым деп аталады. Бөлу нәтижесінде алынатын түрлік ұғымдар бөлу мөлшері деп аталады. Тектік ұғымды түрлік ұғымға бөлу белгісі бөлу негізі деп аталады. Мәселен, үшбұрыш мысалында бөлінетін ұғым – үшбұрыш, бөлудің мүшелері – тік бұрышты үшбұрыш, доғал бұрышты үшбұрыш және сүйір бұрышты үшбұрыш, бөлудің негізі – үшбұрыштың бұрыштық ең үлкен шамасы.

Оқушыларды анықтамалық ұғымдардың анықтамасын білуге үйретуді мынадай бағыттарда жүргізу тиімді: ұғымның анықтамасын тұжырымдап, жүйелі түрде айту,ондағы анықталатын ұғымды ажырату; анықталатын ұғымның тектік және түрлік белгілерін айыру; берілген мәлімет ұғымның анықтамасына жататын не жатпайтындығын анықтай алуға үйрету; оқушылар анықтаманы оқулықтағындай тұжырымдап айтып беруге немесе оның мазмұнына нұқсан келмейтіндей етіп өздігінше айтуға дағдыландыру т.б.; ұғымдар арасындағы негізгі органикалық байланыстарды саралау.

Қазіргі уақытта еліміздің білім беру жүйесінде оқыту үрдісінде математикалық ұғым да өте күрделі категория болып отыр. Математикалық ұғымдар бүгінгі таңда гимназия, лицей, бакалавр бөлімдердерінде тереңдетіп оқытылып жатыр. Қазіргі уақытта көптеген салаларға еніп, абстракциялық сипатқа ие болған. Математиканың негізгі бөлігі бола отырып, әртүрлі теориялар, есептеу математикасы жиынтығының ролін атқарып отыр.

Әдебиеттер

1. Бидосов Э. Математиканы оқыту методикасы. Алматы. Мектеп, 1989ж.

2. Шыныбеков Ә.Н. Жалпы білім беретін мектепке арналған оқулық. Алматы. Атамұра, 2012ж

3. Қожабаев Қ. Математиканы оқыту әдістері. Алматы. Санат, 1998ж.

4. Нұрғалиева Г. К. Оқыту әдістері. Алматы, 1991ж.