1

1. Означення невласного інтегралу

Означення: Нехай , f інтегрована на Якщо , то ця границя називається невласним інтегралом 1-го роду від функції f на проміжку [. У цьому випадку f називають інтегрованою у невласному сенсі.

Якщо вказана в означенні границя існує, то називається збіжним, якщо границя не існує, то називається розбіжним.

Означення: Нехай , f інтегрована на , що міститься в [a;b). Якщо , то ця границя називається невласним інтегралом 2-го роду за проміжком [a;b), функцію f можна називати інтегрованою у невласному сенсі.

Зауваження! Так само, як ми розглядали за можна розглянути :

2. Основні властивості невласного інтегралу

Означення: Нехай маємо проміжок , де або число або нескінченність.

Нехай та . Якщо , то ця границя називається невласним інтегралом функції f за проміжком .

Властивості невласного інтегралу:

Твердження 1: Нехай .

Якщо , то лінійна комбінація інтегрована у невласному сенсі .

Твердження 2: Значення інтегралу у невласному сенсі та у власному сенсі, за умовою співпадають.

Це випливає з , .

Твердження 3: Припустимо, що , тоді :

Ця властивість показує нам, що одночасно будуть збіжними або розбіжними:

3. Інтегрування частинами у невласному інтегралі

Теорема: Нехай f, g: , інтегровані на , тоді якщо , то тоді функції одночасно інтегровані або не інтегровані у невласному змісті. І у разі інтегрованості виконується така рівність:

, де

Доведення: Для доведення цієї теореми пригадаємо формулу інтегрування частинами для випадку інтегралу Рімана:

Користуючись цією формулою та означенням невласного інтеграла теорему буде доведено.

4. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу

Теорема: Нехай , f інтегрована на , для того, щоб був збіжним, необхідно і достатньо щоб виконувалася така рівність: .

Доведення: Розглянемо .

Сформульоване твердження є критерієм існування границі функції F коли .

5. Абсолютна збіжність невласного інтегралу. Невласні інтеграли від невід’ємних функцій

Означення: Будемо говорити, що називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є .

З теореми інтегралу Рімана, нам відомо: . Завдяки цій нерівності з абсолютної збіжності невласного інтегралу випливає звичайна збіжність.

Зауваження! Для дослідження абсолютної збіжності інтегралів, нам необхідно навчитися досліджувати інтеграл від невід’ємних функцій.

Теорема: Нехай , f інтегрована на і

є обмеженою на проміжку

Доведення: Оскільки функція , то – не спадна, для існування границі при функції необхідно і достатньо щоб вона була обмеженою.

6. Інтегральна ознака збіжності ряду

Теорема: Нехай , , f(x) є не зростаючою на , та f(х) інтегрована на , тоді та ряд збігаються або розбігаються одночасно.

Доведення:

Якщо ряд (1) збіжний, то суми обмежені, а значить інтеграл обмежений та збіжний. Якщо збіжний, то з лівої частини нерівності (*) випливає, що – обмежені, та – обмежений, а це означає що ряд (1) збіжний. Якщо ряд (1) розбіжний, то його суми не обмежені, тоді - необмежений, з цього випливає, що – розбіжний.

Якщо – розбіжний, то з цього випливає, що – необмежений, з нерівності (*) випливає, що необмежені, отже ряд (1) розбіжний.

7. Перша теорема порівняння

Теорема: Нехай f, g: , інтегровані на , , , .

Тоді, зі збіжності інтегралу (3) випливає збіжність інтегралу (2); з розбіжності інтегралу (2) випливає розбіжність інтегралу (3).

Доведення: Якщо виконуються всі умови теореми, то з властивості інтегралу Рімана ми можемо написати:

Якщо інтеграл (3) збіжний, то G(b)обмежена, з цього випливає, що F(b)обмежена, отже інтеграл (2) збіжний.

Якщо інтеграл (2) розбіжний, то F(b) не обмежена, звідси випливає, що G(b) не обмежена, а отже, інтеграл (3) розбіжний.

8. Друга теорема порівняння

Теорема: Нехай f, g: , інтегровані на , , , тоді:

1) Якщо = 0 – зі збіжності інтегралу випливає збіжність інтегралу ;

2) Якщо - з розбіжності випливає розбіжність інтегралу;

3) Якщо - то та збіжні або розбіжні одночасно.

Доведення:

1) за першою ознакою порівняння зі збіжності інтегралу випливає збіжність

2) , за першою ознакою порівняння з розбіжності інтегралу випливає розбіжність

3) ,

Якщо збіжний, то з правої частини нерівності випливає, що збіжний. Якщо розбіжний, то з лівої частини нерівності випливає, що розбіжний. Це означає, що вони або збіжні, або розбіжні одночасно.

9. Умовна збіжність невласного інтегралу

Означення: Якщо невласний інтеграл є збіжним, але не збігається абсолютно, то його називають умовно збіжним інтегралом.

10. Ознака Абеля – Діріхлє

Теорема: Нехай f, g: , інтегровані на , тоді для (умовної) збіжності (*) достатньо виконання однієї з двох пар умов:

Доведення:

Розглянемо , з теореми про середнє значення маємо: .

Оскільки інтеграл від функції f збіжний, то для

Для c і обраного :

Отже, виконується критерій Коші збіжності інтегралу (*).

11. Невласні інтеграли з декількома особливостями

Розглянемо , тоді за означенням покладають, що:

(1)

Вказаний інтеграл є збіжним, якщо обидва інтеграли в правій частині рівності (1) збіжні.

У супротивному випадку, тобто коли один з інтегралів у правій частині рівності (1) не є збіжним говорять, що вказаний інтеграл розбігається.

12. Інтеграли у змісті головного значення

Означення 1: Нехай , інтегрована на , тоді називається інтегралом у змісті головного значення.

Означення 2: Нехай

13. Простір в . Метрика в

– це векторний простір, елементами якого ми будемо вважати такі набори:

Ці елементи ще називають точкою простору.

Візьмемо дві точки: .

Відстанню між цими точками ми будемо називати:

(1), якщо m=1, то .

На можемо дивитися як на функцію, визначену на будь-якій парі точок простору , ця функція має такі властивості:

1) ;

3) ;

4) , .

Зауваження! Ми вважаємо, що x=y . Функція визначена на парах елементів деякого простору називається метрикою, а сам простір, на якому задається ця функція називається метричним. Отже, – це метричний простір.

14. Відкриті і замкнені множини в просторі

Означення 1: Нехай x – фіксована точка,

– називається відкритою кулею в просторі з центром в точці х і радіусом .

Означення 2: Множина Е, що міститься в називається відкритою множиною, якщо кожна точка цієї множини міститься в ній разом з деякою кулею з центром в цій точці:

Означення 3: Будь-яку множину, що містить точку називають околом точки х.

Зауваження! Відкрита куля є відкритою множиною.

Означення 4: Кулю з центром в точці х і радіусом ми будемо називати – околом точки .

Означення 5: Множина називається замкненою, якщо доповнення до цієї множини – є відкрита множина.

Приклад замкненої множини:

- замкнена куля.

Означення 6: Нехай , - внутрішня точка для Е, якщо вона міститься в Е разом з деяким околом.

Множина Е буде відкритою тоді і лише тоді, коли всі її точки внутрішні.

Точка у є зовнішньою для множини Е, якщо вона є внутрішньою для доповнення

Означення 7: Точка х називається межовою точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки містяться точки як такі, що належать множині Е так і такі, які не належать Е, відмінні від самої точки х.

Приклад:

– коло.