Математика/1.Интегральные и
дифференциалные уравнения
Ысмагул Р.С. -
ф.-м.ғ.к., Кәрім А.Д.- студент
А.Байтурсынов атындағы Қостанай мемлекеттік
университеті
МАТРИЦАСЫ ТҰРАҚТЫ СЫЗЫҚТЫ
ДИФФЕРЕН-
ЦИАЛДЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ОРНЫҚТЫЛЫҒЫ
Келесі жүйені
қарастырамыз
(1)
мұндағы
– тұрақты (
)– матрица.
делік, онда
экспоненцерленген матрицаның қасиетін ескере отырып, мынаны аламыз
немесе
(2)
болғандықтан,
ерекше емес матрица.
Сондықтан (2)-дан келесіні аламыз
және бұдан
мұндағы
– тұрақты (
) матрица.
Олай болса, (1) жүйесінің матрицасының
тұрақты жалпы шешімі
(3)
болсын.
(3) формуладан келесі шығады
, сонда
,
бұдан
(4)
-
матрицасының
өзіндік мәні болсын, Жордана клеткасын ерекшеленеді , және
– Жордана клеткасының ретіне сәйкес келеді.
–ті ерекше емес матрица деп белгілейік,
матрицасын Жордана
формасына әкеледі:
, мұндағы
– Жордана клеткасына сай келеді. Онда экспонерленген
қасиетке сүйене отырып (4) формуладан келесіні аламыз:
, (5)
мұндағы
,
бірлік
қисық қатарға сәйкес келеді [1].
Теорема. Егер
матрицасының
характеристикалық түбірлерінің
нақты
бөлігі теріс болса
,сызықты біртекті жүйесі
тұрақты
матрицасы бойынша орнықты болса, сонда тек сонда ғана, характеристикалық
түбірлердің нөлдік нақты бөлігі болады, жай
элементар бөлгіш енгізіледі ( Жордан клеткасы бір элементте келеді)
Дәлелдеу. Теореманың
жеткілікті шартын дәлелдейміз.
-
матрицасының барлық характеристикалық
түбірлері
нақты бөлігі теріс, Жордан клеткасын ерекшеленеді
және
–
матрицасының
характеристикалық түблерінің нақты бөлігі
нөл, және
–
матрицасындағы
нормальдық формасындағы Жордан клеткасының жалпы саны.
(5) формуладан, (1) жүйенің
әрбір шешімі мынаған тең
,
(6)
мұндағы
вектор-
функцияның көпмүшесі,
еселі
түбірінің дәрежесі төмен және
вектор –бағана
тұрақтысы
болғандықтан, онда
егер
.
сондықтан (6)
формуласынан келесі шығады,
әрбір шешімі
жартылай
кеңістікте шенелген.
Бұдан, теорема негізінде (1) жүйе орнықты.
Енді теореманың
қажетті шартын дәлелдейміз.
(1) жүйе орнықты дейміз.
матрицасының
барлық
характеристикалық түбірлерінің нақты бөлігі теріс
екенін көрсетеміз. Шынында да
матрицасының
өзіндік
мәні табылсын,
. Онда (18)жүйесі
нөлдік емес
шешімі табылады, мұндағы
.Бұдан
егер
және шешім
шенелмеген орнықтылық жүйеге қайшылық.
Сондықтан
Енді
характеристикалық түбірін
нақты
бөлігі нөлмен жай элементар бөлгішке тең.
Шынында да,
матрицасы жордан
формасына келтірілген:
, мұндағы
және
характеристикалық түбіріне Жордан
клеткасы сәйкес келеді.
түрі, мұндағы
. Онда
(7)
(1) жүйенің матрицалық шешімі
болады, сондықтан
.
(7) формуладан
аламыз. Бұдан , норма бойынша мынаны аламыз
(8)
Бұдан
,
онда егер
бірінші нормадан,
келесіні аламыз
, мұндағы (8) теңсіздігінен келесіні аламыз:
,егер
.
Сондықтан,
, егер
жүйенің орнықтылығы мүмкін
емес. Теорема дәлелденді.
Ескерту.
тұрақты
матрицасы сызықты біртекті жүйе орнықты
бастапқы моменті
қатысты бірқалыпты орнықты. Шынында да, сызықты
жүйенің орнықтылық шешімі шенелген, онда
аламыз егер
. Егер
– біздің жүйеміз
туындылы шешім. Онда
және егер
болғанда келесі
шығады
, егер
және
саны
бастапқы
моменттен тәуелді емес.Сондықтан
нөлдік шешімі
бірқалыпты орнықты, егер
болса, онда осы
жүйенің барлық шешімі бірқалыпты орнықты.
Әдебиет
1.
Самойленко
А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения примеры и
задачи. – М.: Высшая школа, 1989, - 384 б.