К.ф.-м.н. Дальбекова К.С., к.ф.-м.н. Беркимбаева С.Б., к.п.н. Дузбаева Р.М.

Университет международного бизнеса, Казахстан

Устойчивость линейных нестационарных систем на

конечном отрезке времени

При изучении различных процессов происходящих в реальной действительности, приходится сталкиваться с одним из наиболее важных понятий - понятием об устойчивости движения. Основы теории устойчивости движения были разработаны в конце прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым. Им было предложено два метода решения задач устойчивости. Второй (прямой) метод Ляпунова является мощным строгим аналитическим и весьма эффективным методом при решении многих теоретических и прикладных вопросов устойчивости движения. Изложение и развитие этой теории полно освещены в известной монографии А.М. Ляпунова, а также в работах Н.Г. Четаева, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, В.И. Зубова, И.Г. Малкина, К.П. Персидского и других.

Как известно, устойчивость по Ляпунову рассматривается на бесконечном интервале времени, что является серьезным препятствием для многих приложений, т.к. большинство объектов исследования функционируют в течение конечного промежутка времени. В настоящее время, имеются различные подходы к определению устойчивости наконечном отрезке времени (Н.Г. Четаев, Н.Д. Моисеев, Г.В. Каменков, А.А. Лебедев, К.А. Абгарян и др.). Но ни одна из известных постановок об устойчивости на конечном отрезке времени не заняла до сих пор доминирующего положения. В этой связи развитие метода функции Ляпунова применительно к исследованию устойчивости и стабилизации движения на конечном отрезке времени представляется актуальной задачей .

К исследованию нестационарных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений приводят многие задачи механики и техники. Наличие зависимости коэффициентов системы от времени вносит принципиальные трудности в изучении структурных свойств системы (устойчивости, управляемости, и наблюдаемости). Исследование устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени, обеспечивающее точное попадание к началу координат за конечное время, а также на бесконечном интервале времени до сих пор полностью нерешенная задача.

Цель работы заключается в исследовании устойчивости и стабилизации движения линейных нестационарных систем на конечном интервале времени.

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений:

(1)

где –мерный вектор состояния системы, , причем

Пусть Ф(t)- фундаментальная матрица решений системы (1). Тогда матрицу Ф(t) можно определить из матричного дифференциального уравнения дифференциального уравнения

(2)

Тогда матрица может быть определена как решение матричного дифференциального уравнения вида:

(3)

Теорема 1. [3] Для уравнения возмущенного движения

, T] существует T – определенно-положительная функция , допускающая ББНП (бесконечно большой низший предел) при и с знакоотрицательной полной производной по времени t, то положение равновесия устойчиво на конечном отрезке времени.

Для исследования устойчивости на конечном отрезке времени рассмотрим применение теоремы 1. Возьмем фукцию Ляпунова вида :

(4)

Полная производная по от функции в силу системы (1)

()() (5)

и =0 тогда и только тогда, когда

()()=0, (6)

Решением этой системы является

(7)

где Ф(t) – фундаментальная матрица решений системы (1).

Теорема 2. Положение равновесия линейной нестационарной системы (1) устойчиво на конечном отрезке времени, если матрица гурвицева для и выполняется

(8)

В работе предлагается новый подход, являющийся дальнейшим развитием метода функции Ляпунова и теоремы Н.Г.Четаева об асимптотической устойчивости, применительно к решению задач устойчивости на конечном отрезке времени, получены достаточные условия устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени.

Список литературы:

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М., Гостехиздат, 1950.

2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. С.-П., М., Краснодар: Лань, 2003.

3. Бияров Т.Н. Об устойчивости нелинейных систем на КОВ. – 1988.

4. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.-М.: ИЛ, 1954