Математика / 5. Математичне моделювання

Готинчан І.З.

Чернівецький торговельно - економічний інститут

Київського національного торговельно – економічного університету

нестаціонарна задача теплопровідності для неоднорідного середовища з м'якими межами на декартовій вісі методом гібридного диференціального оператора фур'є – лежандра- фур'є

Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області розв’язку сепарат-ної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [4]

(1)

за нульовими початковими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

Ми припускаємо, що: 1) функції є оригіналами за Лапласом стосовно [5]; 2) виконані умови на коефіцієнти: 3) - диференціальний оператор Лежандра [8]: ,

У зображенні за Лапласом параболічній задачі (1)-(3) відповідає крайова задача: побудувати на множині розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є та Лежандра для модифікованих функцій

(4)

за умовами спряження

(5)

У рівностях (4) – (5) прийняті позначення:

Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Фур’є утворюють функції та , а фундаментальну систему розв’язків для рівняння Лежандра утворюють узагальнені модифіковані приєднані функції Лежандра та [8].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок задачі (4) – (5) методом головних розв’язків [7]:

(6)

У рівності (6) беруть участь функції впливу, породжені неоднорідністю системи (4):

(7)

У рівностях (7) беруть участь функції:

Інші функції і величини загальноприйняті [8].

Повертаючись у формулах (6) до оригіналу, одержуємо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) –(3):

(8)

У формулі (8) за означенням [5] функції впливу

(9)

Особливими точками функцій впливу є точки галуження і точка . Покладемо Звідси одержуємо, що

Якщо скористатися методом контурного інтегралу й теоремою Коші [5], то формулі (9) можна надати вигляду:

(10)

Покладемо

(11)

Безпосередньо перевіряється, що

(12)

У рівностях (10), (12) означає уявну частину виразу , а - дійсну частину виразу, риска зверху означає комплексне спряження.

У рівностях (11), (12) беруть участь величини та функції:

;

Зауваження. Вибором параметрів, які беруть участь у формулюванні даної задачі теплопровідності, можна із загальних структур (8), (12) виділити (в рамках даної моделі) будь-який частковий випадок.

Висновки. Вектор-функція , де визначені формулою (8) описує в точній аналітичній формі тепловий процес в даному середовищі. Алгоритмічний характер формул (8) дозволяє використовувати одержаний розв’язок як в теоретичних дослідженнях, так і в інженерних розрахунках.

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 600 с.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964. -487 с.

3. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976. – 310 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. 735 с.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

6. Ленюк М.П.,Шинкарик Н.И. Гибридные интегральные преобразования Лежандра. – Львов, 1989. 60 с. – (Препринт/ АНУССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики; 89.0)

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

8. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004.- 368 с.