Ленюк М. П., Лусте І. П.

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича

ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА – (КОНТОРОВИЧА – ЛЄБЄДЄВА) – БЕССЕЛЯ НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ

Побудуємо на множині обмежений розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра [1], (Конторовича - Лєбєдєва) [2] та Бесселя [3] для модифікованих функцій

(1)

за умовами спряження

(2)

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість будувати розв’язок даної крайової задачі методом функцій Коші [4,5]:

(3)

Тут - функції Коші [4,5]:

(4)

(5)

(6)

Нагадаємо, що ‑ узагальнений диференціальний оператор Лежандра з особливою точкою ; ‑ диференціальний оператор Конторовича‑Лєбєдєва з особливою точкою [2]; ‑ диференціальний оператор Бесселя з особливою точкою [3].

Умови спряження (2) для визначення величин дають неоднорідну алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

(7)

У системі (7) беруть участь функції

та символ Кронекера [6].

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2): для будь-якого вектора визначник алгебраїчної системи (7)

(8)

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (1) – (2):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

;

(9)

2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

(10)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (7) та підстановки одержаних значень та у формули (3) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2):

(11)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1), (2) методом гібридного інтегрального перетворення (ГІП), породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(12)

Гібридний диференціальний оператор самоспряжений і має одну особливу точку . Тому його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр .Йому відповідає спектральна функція

‑ одинична функція Гевісайда [5].

Функції задовільняють відповідно диференціальні рівняння

(13)

та умови спряження

(14)

Якщо покласти [4]

(15)

то умови спряження (14) для визначення п’яти величин дають однорідну алгебраїчну систему із чотирьох рівнянь:

(16)

У результаті розв’язання алгебраїчної системи (16), підстановки обчислених величин та у рівності (15) маємо структуру функцій :

(17)

У рівності (17) прийняті позначення:

Визначимо числа

,

вагову функцію

та спектральну щільність

.

Наявність вогової функції , спектральної вектор-функції й спектральної щільності дає можливість запровадити пряме та обернене ГІП типу Лежандра – (Конторовича - Лєбєдєва) – Бесселя на полярній осі, породжене на множині ГДО [7]:

(18)

, (19)

вектор-функція з області визначення ГДО .

Введемо до розгляду величини та функції

,

В основі застосування ГІП до розв’язання відповідних задач знаходиться основна тотожність ГІП ГДО :

(20)

Запишемо систему (1) в матричній формі:

(21)

Інтегральний оператор згідно правила (18) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

(22)

Нехай . Покладемо всюди . Застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-рядок (22) до системи (21). Внаслідок тотожності (20) маємо алгебраїчне рівняння:

Звідси знаходимо, що функція

(23)

Інтегральний оператор згідно правила (19) як обернений до (22) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

(24)

Застосуємо операторну матрицю-стовбець (24) за правилом множення матриць до матриці-елементу , де функція визначається формулою (23). Після низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2):

(25)

Порівнюючи розв’язки (11) та (25) в силу єдиності, маємо формули обчислення наступних невласних інтегралів:

(26)

(27)

(28)

Функції впливу визначені за формулами (10), а функції Гріна умов спряження визначені за формулами (9).

Оскільки праві частини у формулах (26) – (28) не залежать від нерівностей , то при необхідності можна покласти .

Результатом дослідження є твердження.

Основна теорема. Якщо вектор-функція

неперервна на множині , функції задовільняють умови обмеження

та умови спряження (2) й виконується умова (8) однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2), то є вірними формулами (26) – (28) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (12)

Література:

1. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера – Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

2. Ленюк М.П. Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича – Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. –280 с.

3. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.-432с.

Ленюк М.П., Янчишин М.Л. Гібридні інтегральні перетворення типу (Фур’є – Конторовича - Лєбєдєва) – Лежандра. – Львів, 2002. – 76с. – (Препринт/НАН України.Ін-т прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача; 01.02). – Чернівці: Прут, 2002. – 76с.